El problema de Kakeya

A veces el espacio que tenemos para darle media vuelta a un coche es mínimo. Ahora bien, ¿cuál es el menor espacio necesario para hacer el giro? Y si abstraemos el problema y reducimos el coche a un segmento unitario, ¿cuál es el conjunto “más pequeño” del plano en el que se puede realizar ese giro? También podemos extrapolar el problema a tres dimensiones.

Conocido como el problema de Kakeya o de Besicovitch (en honor a los matemáticos japonés y ruso que lo estudiaron), las respuestas a estas cuestiones son un objeto del deseo del Análisis Matemático contemporáneo. Se denomina conjunto de Kakeya, o conjunto Besicovitch, a cualquier conjunto de puntos en el espacio euclídeo, que contiene un segmento unitario de línea en todas las direcciones. Mientras que muchos tipos de objetos satisfacen esta propiedad, varios resultados y preguntas interesantes son motivadas al intentar responder a la medida mínimo de dichos conjuntos.

En primer lugar, podemos pensar que el área necesaria para girar la aguja es un círculo con el centro en el punto medio de la aguja. Esta es la primera solución que nos viene a la cabeza.  Luego, podemos pensar en un triángulo de Reuleux. Una aguja que se mueva en su interior también gira ahí completamente y la superficie es más pequeña. Una profundización mayor nos llevaría a la superficie conocida como “deltoide” que también permite el giro de la aguja y cuya superficie (en relación con la aguja) parece pequeñísima. Es la representada en la siguiente figura:

Kakeya_needle
Durante mucho tiempo se pensó que esta deltoide era la solución del problema de Kakeya, pero en 1919, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que en realidad el área necesaria se podía hacer arbitrariamente pequeña. Ideó una solución muy sutil a base de desplazamientos longitudinales de la aguja y una sucesión casi interminable de giros de la misma. Besicovitch demostró que la solución podría tener medida nula.

 

 

Nuevas creaciones de Aakash Nihalani

Ya hablamos de Aakash Nihalani en una entrada anterior, ese artista de Nueva York que ha convertido la calle en un gran taller de geometría. En aquella ocasión utilizaba cintas adhesivas de colores para crear por la ciudad sorprendentes formas y figuras geométricas que dan una sensación de tridimensionalidad.  Ahora sus nuevas creaciones se refieren a operaciones que aparecen de forma implícita en la calle: cubos de basura que se multiplican, ventanas que se suman, se restan… Mejor verlo.

 

 

 

 

El cubo de Necker

El Cubo de Necker es una ilusión óptica publicada por primera vez en 1832 por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker. Se trata de un cubo en perspectiva axonométrica, esto es, que los límites paralelos del cubo están dibujados como líneas paralelas en la imagen. Cuando se cruzan dos líneas, la imagen no muestra cuál está en frente y cuál detrás. Esto hace que el dibujo sea ambiguo, ya que puede ser interpretado de dos maneras diferentes.

cubo-de-necker

Cuando se observa la imagen, suele suceder que se intercambia la visión entre las dos interpretaciones válidas. A esto se le denomina percepción multiestable.

Los psicólogos del siglo pasado lo usaban para demostrar que nuestros pensamientos o nuestro modo de pensar pueden afectar nuestras percepciones. Fíjate si puede hacer que la imagen cambie a voluntad (como en otras imágenes que le siguen). Haz aparecer al cubo en una perspectiva y luego en la otra. Que salte para acá y para allá. Cuando hayas conseguido todo eso, considera que -en realidad- lo que estás viendo es una figura de dos dimensiones, pero que para tu imaginación es un cubo visto desde la derecha o desde la izquierda.

El Cubo de Necker ha sido ampliamente utilizado como motivo artístico. Estas son algunas muestras de ello.

Cubo_de_Necker_4

 

necker2

 

necker3

Los números metálicos

El número de oro es ampliamente conocido desde la época de Euclides por sus aplicaciones al mundo del arte o la arquitectura, sin embargo pocos conocen la existencia de otros números metálicos”, como el número de plata o el de bronce. Vayamos por orden:
Número de oro
A un rectángulo le quitamos un cuadrado y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación  x/1 = 1/(x-1), cuya solución positiva, (1+5^(1/2))/2, se denomina número de oro, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.
Número de plata
A un rectángulo le quitamos dos cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-2), cuya solución positiva, 1+2^(1/2), se denomina número de plata, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.

Número de bronce

A un rectángulo le quitamos tres cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-3), cuya solución positiva, (3+13^(1/2))/2, se denomina número de bronceque es la razón entre los lados del rectángulo inicial. 

numeros metalicos

Algebraicamente, el número de oro es la raíz positiva de la ecuación x2-x-1=0. Generalizando, podemos plantear la ecuación x2-mx-1=0, donde m es un número natural. Las raíces positivas de estas ecuaciones son los números metálicos:

    • Si m=1, obtenemos el número de oro.
    • Si m=2, obtenemos 1+√2, el número de plata.
    • Si m=3, obtenemos (3+√13)/2, el número de bronce.
    • En general, se obtiene la expresión (m+√m2+4)/2 genera todos los números metálicos.

La relación de los números metálicos con las fracciones continuas es muy interesante. El número de oro expresado como fracción continua se escribe de la siguiente forma:

numero de oro fraccion continua

El número de plata:

plata

Y, en general, cualquier número metálico tiene la forma:

metalicos

Los números metálicos están íntimamente relacionados con la Sucesión de Fibonacci. Recordemos que la sucesión de Fibonacci es la construida según el siguiente criterio:

F(n+2) = F(n) + F(n +1)

Pues bien, el límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos F(n) / F(n – 1) es, precisamente, el número de oro.

Generalizando el anterior resultado se denomina Sucesión de Fibonacci Generalizada a la formada según la recurrencia  F(n+2) = p * F(n) + q * F(n +1) , cuyos límites entre las razones de dos términos consecutivos tienden a los correspondientes “números metálicos”.

Valor aproximado de los Números Metálicos 

Nombre p q Valor
Oro 1 1 1,618033989…
Plata 2 1 2,414213562…
Bronce 3 1 3,302775638…
Cobre 1 2 2.000000000…
Níquel 1 3 2,302775638…
Platino 2 2 2,732050808…

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Dados, ¡y qué dados!

Un dado es un objeto de forma poliédrica que se usa para mostrar un resultado aleatorio. Los dados se consideran derivados de la taba (nombre vulgar del astrágalo de los mamíferos) y desde la antigüedad se utilizan para la práctica de diferentes juegos. El vocablo parece que proviene del árabe clásico a‘dād, que significa número. En Roma al dado se lo llamaban álea, de ahí la frase de Julio César al cruzar el Rubicón: Alea jacta est, que significa “el dado está tirado”, otra forma de decir “La suerte está echada”. De álea proviene aleatorio, ‘al azar’.

Puesto que los cinco sólidos platónicos han sido objeto de veneración desde la antigüedad, dichas formas se han utilizado para fabricar dados por su perfecta regularidad. Es evidente que el dado de seis caras es el más utilizado en toda clase de juegos, seguramente por la facilidad de su fabricación, pues se trata de un simple cubo. Sin embargo, con el advenimiento de los juegos de rol en los años 70,  la utilidad de realizar tiradas de dados de menos o más de seis caras se hizo patente. He aquí un kit básico de dados para juegos de rol:

dados rol

Hasta aquí todo bien. Ahora entramos en el terreno del frikismo para ver como la imaginación humana no tiene límites a la hora de crear dados.

Dados con constantes matemáticas:

Dados matemáticos

Dados con operaciones:

math

Dados con conjuntos:

math_sets

Dados con potencias de 10:

magnitude

Dado con las permutaciones de las letras a, b, c:

permutaciones

Dados binarios:

binary

Dado con emoticonos:

emoticon

Y por último… ¡el dado de cien caras!, que en realidad no tiene cien caras, ni es un poliedro, sino que es una esfera. Bautizado en inglés en 1985 como Zocchihedron (o «zocchiedro» en castellano) por su inventor, el estadounidense Lou Zocchi, no ha conseguido venderse con éxito porque su rodadura tarda demasiado tiempo en detenerse y porque muchas veces la lectura del resultado de su tirada es confusa o ambigua. No es de extrañar, ¿no?

Zocchihedron2

 

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Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x2 + y2 = r2, la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

m^2+n^2\leq r^2.

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

GausssCircleProblem_650

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr2 y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/rse acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

GausssCirclePi_1000

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(ren la fórmula

N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

Gauss logró ya demostrar que 

E(r)\leq 2\sqrt{2}\pi r.

y escribiendo |E(r)| ≤ Crt, los actuales límites en t son

\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

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Teorema de la bola peluda

Si n\  es un entero par al menos igual a 2\ , todo campo vectorial continuo X\  sobre la esfera real S_n\  se anula en un punto al menos; es decir que existe v\  (que depende de X\ ) tal que: X(v)=0\ .

En Matemáticas, y más precisamente en Topología Diferencial, el Teorema de la Bola Peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Por lo tanto, el teorema afirma que la función que asocia un vector a cada punto de la esfera se anula en al menos un punto (en la figura son dos los puntos, situados en los polos). Este resultado fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.

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En meteorología se considera una modelización del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con componentes vectoriales bidimensionales, esto es, considerando nulo su movimiento a lo largo del eje vertical. Bajo estas condiciones, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento. En un sentido físico, esta zona de no-viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón.

ciclon

Una de las consecuencias del Teorema de la Bola Peluda es el Teorema del punto fijo de Brouwer, que asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo a valores en K, admite un punto fijo, esto es, donde f(x)=x. El origen del teorema provendría de la observación de una taza de café por Brouwer. Cuando revolvemos el azúcar, parece siempre haber un punto inmóvil; de ahí deduce que: «En todo momento, hay un punto de la superficie que no habrá cambiado de lugar». El punto fijo no es necesariamente aquél que parece inmóvil pues el centro del remolino se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, pues el punto fijo inicial podrá haber cambiado, pero otro punto fijo aparecerá.

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