El Hotel Infinito de Hilbert

El matemático alemán David Hilbert es conocido mundialmente porque en 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos sin resolver, que establecieron buena parte del devenir de la investigación matemática del siglo XX. Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo del “Hotel Infinito”. El Hotel Infinito tiene habitaciones que se encuentran numeradas como 1, 2, 3, 4…, algo habitual en los hoteles, aunque tiene la particularidad de que dicha numeración no termina nunca y, por lo tanto, puede alojar a infinitos viajeros. 

Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel un cliente con intención de alojarse, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. Para poder alojarle el recepcionista encuentra la siguiente solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la habitación número 1 queda disponible para el nuevo cliente. No ha habido ningún problema para añadir 1 a infinito, y del mismo modo procederíamos si se presentara un grupo de n clientes. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más? No se puede recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, el agudo recepcionista resolvió el problema de la siguiente manera: pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas.

Llegados a este punto, parecería que el hotel no pudiera llenarse nunca, que siempre tendrá capacidad para alojar a cualquier grupo de visitantes, por muy infinito que sea. Imaginemos por un momento que al Hotel Infinito llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El recepcionista le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. De esta manera dejó libres infinitas habitaciones para los nuevos clientes, pero ¿cómo alojarlos? Asignó a cada uno de los autobuses un número primo, y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Así logró hospedar a un número infinito de autobuses con infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones. ¡Y además le sobraron habitaciones (las correspondientes a primos elevados a un número par)!

El hotel Burj Khalifa de Dubai no es el Hotel Infinito, pero poco le falta con sus 832m de altura.