La conjetura de Catalan

Eugene Charles Catalan

Observa las siguientes potencias: 2^33^2. Se trata de dos potencias consecutivas. La cuestión es: ¿existen otras potencias consecutivas además de esta? Esta fue la pregunta que se hizo el matemático belga Eugène Catalan (1814 – 1894), de la que no obtuvo respuesta, pero conjeturó que no existían más. Como otras conjeturas, se trata de demostrar que es cierta o encontrar un contraejemplo. A comienzos de siglo XXI ya se había probado con potentes computadoras y no se había encontrado ningún contraejemplo. Finalmente, la conjetura de Catalan se probó en abril de 2002 por el matemático rumano Preda Mihăilescu (1955 – ), convirtiéndose desde entonces en el Teorema de Mihăilescu.

En matemáticas, por cada problema resuelto surgen una miriada de nuevos retos. Concretamente, la conjetura de Catalan es un caso particular de  la conjetura de Fermat–Catalan, que combina ideas del Último Teorema de Fermat y la conjetura de Catalan. La conjetura postula que la ecuación

 a^m + b^n = c^kquad

tiene un número finito de soluciones, donde a, b, c son números enteros positivos primos entre sí y m, n, k son enteros positivos que satisfacen

 frac{1}{m}+frac{1}{n}+frac{1}{k}<1.

En definitiva, que la suma de dos potencias es igual a otra potencia sólo en un número finito de veces.

En 2008 se conocían las siguientes soluciones (imagino que esta lista se habrá ampliado y actualizado):

1^m+2^3=3^2;
2^5+7^2=3^4;
13^2+7^3=2^9;
2^7+17^3=71^2;
3^5+11^4=122^2;
33^8+1549034^2=15613^3;
1414^3+2213459^2=65^7;
9262^3+15312283^2=113^7;
17^7+76271^3=21063928^2;
43^8+96222^3=30042907^2;

 En concreto la primera de ellas es la única solución donde una de las potencias es 1 y, por la tanto, la única solución de la conjetura de Catalan.

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