Es un poco injusto otorgarle tanta fatalidad al número 23, pero este número primo tiene un sinfin de curiosidades. Aquí indicaré algunas, pero si te saben a poco, en la página “Prime Curios!” puedes encontrar muchas más.

• Junto con el 239, son los dos únicos enteros que necesitan 9 cubos para ser representados. En concreto 23 = 2*2^3 + 7*1^3.
• 23 es el único número primo p tal que p! tiene una longitud de p dígitos.
• El homo sapiens tiene 23 pares de cromosomas.
• 23 es el entero más grande que no es la suma de potencias distintas.
• Existen 23 discos en la columna vertebral humana.
• En una reunión con 23 personas, existe un porcentaje mayor al 50 por ciento de que dos personas compartan el misma día de nacimiento.
• 23 = 1! + (2! + 2!) + (3! + 3! + 3!).
• Según la teoría de biorritmos, todo el mundo sigue un cíclo físico de 23 días.
• La suma de los primeros 23 primos es 874 (un múltiplo de 23). Nótese que 874 = 23 x 38 y el primo nº 23 es el 83.

Bromas a parte, vamos  a buscar algunas ecuaciones cuya representación se asemeje a un corazón. Por ejemplo, si dibujamos las siguientes curvas:

   ;  

representando f(x) en el semiplano superior y g(x) en el semiplano inferior tenemos los siguiente:

No está mal el resultado, ¿no?

Veamos ahora la representación de

Bastante logrado, ¿no?

Pero como nuestr@  enamorad@ quizá no aprecie que le regalemos una función matemática, vamos a proponerte un regalo más original: Corazones enlazados con dos bandas de Moebius. Para ello recortaremos dos bandas de Moebius del mismo tamaño, girándolas en direcciones opuestas antes de pegarlas (una en la dirección de las agujas del reloj y la otra en la contraria). Este punto es esencial para que los corazones queden enlazados al final.

Después las pegaremos perpendicularmente.

Por último, cortar las bandas por la mitad en sentido longitudinal (en el cuadrado superpuesto cortarás dos veces).

¿Qué obtienes? ¡¡¡Dos corazones enlazados!!! No me digáis que no es resultón. Para enamorar a cualquiera.

La solución de este problema se denomina cuadrado greco-latino o cuadrado de Euler. La atribución a Euler  es debida a que en 1782 planteó un problema similar de orden 6. Se trata de “El problema de los treinta y seis oficiales“. La pregunta es si es posible colocar a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados (en cada regimiento) en un cuadrado de 6×6 de forma que no coincidan dos oficiales del mismo rango o del mismo regimento en ninguna fila y en ninguna columna. La respuesta es no. No es posible constuir cuadrados de orden 6.

Las preguntas que surgen entonces son: ¿para qué órdenes existen cuadrados grecolatinos?, ¿para cuáles no?, ¿pueden encontrarse cuadrados grecolatinos de un orden cualquiera? El gran Euler (cómo no) demostró que el problema podía resolverse siempre que el lado del cuadrado fuese impar o multiplo de cuatro (par de clase par) y conjeturó que no existía ninguna solucción posible cuando era par de clase impar (multiplo de 2 que no es multiplo de 4), por ejemplo 6, 10, 14, etc.

El gran Leonhard Euler

Tuvieron que pasar muchos años para que Gaston Tarry, en 1901, demostrase la conjetura de Euler para orden 6. Sin embargo el problema seguía abierto para orden 10 o superiores. En 1959, R.C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron algunos contraejemplos de orden 22 siguiendo puntos de vista matemáticos, lo cual contradecía la hipótesis de Euler. Poco más tarde E. T. Parker encontró un contraejemplo del orden 10 utilizando en la búsqueda una computadora UNIVAC (lo que hace que sea uno de los primeros problemas de combinatoria resueltos con ordenador). Finalmente, en 1960, Parker, Bose, y Shrikhande demostraron que la conjetura de Euler es falsa no sólo para n=10, sino para todo n ≥ 10, múltiplo de 2, pero no de 4. Euler se equivocaba.

Este juego matemático parecería que no tendría ninguna utilidad en la vida cotidiana, pero nada más lejos de la realidad. Los cuadrados grecolatinos se utilizan en el diseño de experimentos o en la programación de torneos. Por ejemplo, si tenemos los equipos de tenis de Argentina y España, compuesto por cuatro componentes cada uno, y queremos diseñar un torneo donde todos jueguen con todos, en cuatro días diferentes y, por supuesto, en cuatro escenarios diferentes, pues recurriremos a un cuadrado grecolatino de orden 4.

Cuadrado grecolatino de orden 4

Thomas Hobbes

Thomas Hobbes (1588 – 1679)  fue un filósofo inglés, cuya obra Leviatán (1651) estableció la fundación de la mayor parte de la filosofía política occidental, sin embargo como matemático destacó por su empecinamiento en demostrar lo indemostrable: la cuadratura del círculo. Se trata del famoso problema que proviene de la Grecia clásica donde se intenta construir un cuadrado, con sólo regla y compás, que tenga la misma área que un círculo. La demostración de su imposibilidad tuvo que esperar al año 1882 en que el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema.

Pero volvamos a Hobbes, que estaba tan enamorado de la geometría que solía dibujar figuras geométricas en la ropa de su cama. ”La geometría tiene algo que la asemeja al vino”, llegó a escribir. Si se hubiera contentado con ser un aficionado más, sus últimos años de vida hubieran sido más tranquilos de lo que fueron. En 1655, a los 67 años de edad, publicó el libro titulado De corpore (“Sobre los Cuerpos“), donde aparecía un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad era una buena aproximación, pero Hobbes creía que era absolutamente exacto. Un importante matemático de entonces, John Wallis, publicó un folleto enumerando los errores de Hobbes, lo que desencadenó uno de los debates más largos, divertidos y estériles de la historia de las matemáticas.

Durante casi un cuarto de siglo Hobbes y Wallis se lanzaron todo tipo de puyas y sarcasmos en una disputa que fue en parte mantenida por Wallis porque detestaba las ideas políticas y religiosas de Hobbes. Éste respondió al ataque de Wallis reeditando su libro con una addenda titulada “Seis lecciones para profesores de matemáticas” a lo que Wallis contraatacó con “Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones”. Hobbes replicó con “Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos”, y Wallis devolvió el golpe con “Puncto dispunctio o la refutación de los puntos del señor Hobbes”.

Para darnos cuenta del tipo de lindezas que se proferían, veamos uno de los últimos ataques de Hobbes, aunque era todo un anciano de 90 años: “Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo”.

A estos números se les denomina números piramidales y son los formados por las sucesivas sumas de cuadrados:

P(1) = 1, P(2)=1+4, P(3)=1+4+9, P(4)=1+4+9+16 …

La fórmula que nos permite encontrar el enésimo número piramidal es

Dicha fórmula ya aparecía en el Liber Abaci de Fibonacci en 1202.

George Neville Watson

Un problema sumamente  interesante es el siguiente: tenemos una pila piramidal de bolas y queremos disponerlas en el suelo formando un cuadrado, ¿cuántas bolas necesitamos? ¿cuántas soluciones podemos encontrar? Además de la solución trivial 1, lo sorprendente del denominado “problema de las bolas de cañón” (cannonball problem) es que sólo tiene otra solución, que es 4900. Este problema fue conjeturado por Lucas en 1875, sin embargo la demostración completa no llegó hasta 1918, debida al matemático inglés George Neville Watson (1886 – 1965).

Lorenzo Mascheroni

Este curioso resultado sobre triángulos equiláteros es atribuido a Napoleón Bonaparte (1769–1821), aunque no hay pruebas tangibles de que sea el verdadero autor y, de hecho, apareció publicado en 1825, es decir 4 años después su muerte. Parece ser que el autor fue Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo la pasión del general francés por la geometría, dedicó su libro Geometria del Compasso (1797) al general. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón  el nombre del teorema y su demostración. Mascheroni se desquitó uniéndo su nombre al del gran Euler en la que hoy en día se conoce como la constante de Euler-Mascheroni.

Un teorema análogo es cuando los triángulos equiláteros se construyen en el interior de los lados de un triángulo y el denominado triángulo interior de Napoleón también es equilátero. Sorprendentemente, la diferencia entre las áreas de los triángulos de Napoleón, exterior e interior, es igual al área del triángulo original.

Ramanujam nació en el seno de una familia brahman pobre y ortodoxa. Fue un llamativo autodidacta y prácticamente todas las matemáticas que aprendió fueron las leídas hacia los 15 años de edad en los libros La Trigonometría plana de S. Looney, y la Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr que contenían un listado de unos 6000 teoremas sin demostración. A la edad de 17 años llevó a cabo por su cuenta una investigación de los números de Bernoulli y de la Constante de Euler-Mascheroni. Ramanujam, de un modo independiente, recopiló 3900 resultados durante su breve vida.

Quizá lo más conocido de la vida de Ramanujam sea su anécdota sobre el número 1729. Su tutor Hardy fue a verle una vez, cuando él ya estaba muy enfermo. Había tomado un taxi que llevaba el número 1729 y así se lo indicó a Ramanujam, que respondió: “Este es un número muy interesante; es el número más pequeño que podemos descomponer de dos maneras diferentes con suma de dos cubos“. Efectivamente,  9³ + 10³ = 1³ + 12³ = 1729.

En su honor, se denomina número de Hardy-Ramanujam a todo entero natural que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Otros números que poseen esta propiedad son:

• 2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4104
• 10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20683
• 2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39312
• 9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40033

Por otro lado, el asunto del taxi sirvió para dar nombre a los números Taxicab, que se escriben como Ta(n) o Taxicab(n), y expresan al más pequeño número que puede ser expresado como una suma de dos cubos positivos no nulos de n maneras distintas, sin contar variaciones del orden de los operandos. Así,

Es conocido hasta Ta(6), pero del Ta(7) en adelante no.

Otra versión dice  que el orden de ejecución fue determinado por sorteo y que, por azar, los últimos que quedaron al finalizar el proceso fueron él y su mejor amigo, entonces Josefo tuvo un cambio repentino de opinión y convenció a su amigo para entregarse a los romanos en lugar de matarse entre ellos. Esta sabia e interesada decisión permitió que Josefo sobreviviera y que su problema trascendiera en el tiempo.

El problema de Flavio Josefo, en versión general, propone que m personas están en un círculo y son eliminadas en orden contando cada n personas. Se trata de averiguar cuál será el superviviente.

Por ejemplo, con m=12 y n=3, el sobreviviente es la persona 10. Veamos el proceso:

Para probar en diferentes situaciones, el siguiente enlace contiene un applet que permite jugar con el tema. El jugador selecciona una posición y presiona uno de los botones para observar la secuencia en la que se va a morir la gente. El objetivo del juego, por supuesto, es mantenerse vivo eligiendo el lugar adecuado.

La solución general del problema no es trivial. Se puede atacar el problema en el caso sencillo de que n sea 2, o sea, que una de cada dos personas sea eliminada por orden. Si designamos como J(n) a la posición de la persona salvada en función de n, que es el número total de personas, obtenemos la siguiente tabla:

De ella se puede deducir que sólo se salva la primera persona en el caso de que haya un número total que sea una potencia de 2. Y en general   J(2^k + r) = 2r + 1  donde  0 ≤ r < 2^k, esto es, r es la posición en que se encuentra m entre dos potencias de 2 consecutivas.

Para los interesados aquí tenéis la solución general del problema de Josefo, junto con una introducción histórica y algún problema abierto como el siguiente: supongamos que Josefo se encuentra en una posición dada j, ¿se puede elegir el parámetro de eliminación m para que pueda salvarse?

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321