Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (orden 2). Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. Repetimos el procedimiento una tercera vez. Si realizáramos el proceso indefinidamente obtendríamos la curva de Hilbert.

La curva cubre todo el cuadrado y tiene la curiosa propiedad de ser una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es también bidimensional?
Efectivamente, la dimensión fractal de la curva es 2, en el sentido de dimensión que estableció Hausdorff hacia 1917. Esto es, se trata de una curva que se comporta como una superficie, uno de esos “monstruos geométricos” como fueron tildados los fractales en sus inicios.

La curva de Hilbert provee, por lo tanto, una correspondencia entre el espacio lineal y el espacio bidimensional, que tiene la propiedad de que conserva bastante bien la localidad. Esto es, si (x,y) son las coordenadas de un punto dentro del cuadrado unitario, y d es la distancia a lo largo de la curva cuando se llega a ese punto, entonces los puntos que tienen distancias cercanas a d también tienen valores cercanos a (x ,y).

Debido a esta propiedad de localidad, la curva de Hilbert se utiliza en la informática. Por ejemplo, la curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea. Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad.  Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.

COMPÁRTELO:

Escoge un número de cuatro dígitos. Ordena los cuatro dígitos en orden ascendente y réstalo a la ordenación de los cuatro dígitos en orden descendente. Repite el proceso hasta que obtengas una constante.

Por ejemplo, supongamos que partimos del número de cuatro dígitos 5342:

5432 – 2345 = 3087

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

El proceso termina porque si se sigue repetiendo la secuencia se sigue obteniendo el mismo resultado: 7641 – 1467 = 6174

El número 6174 es conocido como la Constante de Kaprekar en honor de su descubridor el matemático indio Kaprekar. Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905- 1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay. Se interesó por los números siendo muy pequeño. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de escuela en Devlali, India. Kaprekar descubrió muchas propiedades interesantes en la teoría de números recreacional.

La Constante de Kaprekar no es su única contribución. En matemáticas, un Número de Kaprekar es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original. El ejemplo más simple es 9, su cuadrado es 81 y 8+1= 9. Otro ejemplo es el número 703, su cuadrado es 494209. Si separamos 494209 en dos nuevos números, 494 y 209, obtenemos que 494 + 209 = 703. De igual forma, el número 297 también es un número de Kaprekar, ya que es posible descomponer el cuadrado 297² = 88209 en 88 y 209.

Los primeros números de Kaprekar en base 10 son 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …

Eugene Charles Catalan

Observa las siguientes potencias: ,  . Se trata de dos potencias consecutivas. La cuestión es: ¿existen otras potencias consecutivas además de esta? Esta fue la pregunta que se hizo el matemático belga Eugène Catalan (1814 – 1894), de la que no obtuvo respuesta, pero conjeturó que no existían más. Como otras conjeturas, se trata de demostrar que es cierta o encontrar un contraejemplo. A comienzos de siglo XXI ya se había probado con potentes computadoras y no se había encontrado ningún contraejemplo. Finalmente, la conjetura de Catalan se probó en abril de 2002 por el matemático rumano Preda Mihăilescu (1955 - ), convirtiéndose desde entonces en el Teorema de Mihăilescu.

En matemáticas, por cada problema resuelto surgen una miriada de nuevos retos. Concretamente, la conjetura de Catalan es un caso particular de  la conjetura de Fermat–Catalan, que combina ideas del Último Teorema de Fermat y la conjetura de Catalan. La conjetura postula que la ecuación

 

tiene un número finito de soluciones, donde a, b, c son números enteros positivos primos entre sí y m, n, k son enteros positivos que satisfacen

 

En definitiva, que la suma de dos potencias es igual a otra potencia sólo en un número finito de veces.

En 2008 se conocían las siguientes soluciones (imagino que esta lista se habrá ampliado y actualizado):

 En concreto la primera de ellas es la única solución donde una de las potencias es 1 y, por la tanto, la única solución de la conjetura de Catalan.

¿Cuál es la mejor forma de apilar unas naranjas? Parece un problema trivial, pero nada más lejos de la realidad. Se trata del conocido como kissing number problem, en español número de osculación.

En dimensión 2 cada círculo se rodea de otros 6

Pongámonos en el caso más sencillo, como es el plano bidimensional. Carl Friedrich Gauss demostró que el empaquetamiento hexagonal es la de mayor densidad. En ella cada círculo está rodeado de otros seis, por lo que su número de osculación es 6. La densidad de este empaquetamiento es:

Ahora vayámonos al espacio tridimensional. Las dos disposiciones más comunes son llamadas empaquetamiento cúbico centrado en caras y empaquetamiento hexagonal, pero en ambas combinaciones cada esfera está rodeada por otras 12 (kissing number= 12), y ambas tienen una densidad media de

Ahora bien, ¿éstas son las disposiciones más densas posibles? ¿Sería posible rodear cada esfera con otras 13 en alguna disposición irregular? En 1611 Johannes Kepler había conjeturado que esta es la densidad máxima de las disposiciones tanto regular como irregular, en la conocida como conjetura de Kepler. Este fue un tema de controversia entre los matemáticos Isaac Newton y David Gregory. Newton pensaba que el límite era 12 y Gregory que era 13. Aunque el problema parecía sencillo (al menos en su enunciado) hubo que esperar varios siglos para que en 1998 Thomas Hales demostrase la conjetura de Kepler. 

En dimensión 4, durante un tiempo se ignoró si la solución era 24 o 25, pero en 2003 el matemático ruso Oleg Musin probó que la solución correcta era 24. Para dimensiones superiores los resultados conocidos son escasos. Sólo se conocen los kissing number para n = 8 (240), y n = 24 (196560). Para algunas dimensiones existen algunas estimaciones y se conjetura que muestra una tendencia de crecimiento exponencial, pero sigue siendo un problema abierto de las matemáticas.

En la historia de la Humanidad existen errores que se han perpetuado para siempre. Como ejemplo valga citar a los “indios” que Cristóbal Colón pensaba que había encontrado cuando arribó al Nuevo Mundo, que no eran de la India ni mucho menos, pero es igual, el nombre quedó asignado para siempre con la consiguiente confusión que provoca. La curva denominada “Bruja de Agnesi” es un caso similar que trataremos en este 8 de marzo, Día de la Mujer.

Maria Gaetana Agnesi (1836)

María Gaetana Agnesi (Milán, 16 de mayo de 1718 – Milán, 9 de enero de 1799) destacó en varias disciplinas, como la lingüística, filosofía y matemática. En 1748 publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventù italiana, tratado al que se atribuye haber sido el primer libro de texto, que trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integral. Esta obra gozó de notable éxito y fu traducida al inglés y francés. Es entonces cuando su nombre quedó inmortalizado para siempre en los tratados de Geometría.

La “bruja de Agnesi” se trata de una curva que Fermat había estudiado en 1703, y para la que Grandi, en 1718, había dado un método de construcción. Lo de “bruja” fue un error de traducción. Grandi llamó a la curva versoria en latín, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino. John Colson, un traductor de Cambridge con poco conocimiento del italiano, llama a la curva witch (‘bruja’), debido a que “confundió” versiera con avversiera (que en italiano significa diablesa o bruja.

El método de construcción de la curva es sencillo; para obtener un punto cualquiera de la curva:

• Trácese una circunferencia, con centro en el punto (0, a/2)
• Desde el origen, (0, 0), trácense rectas que crucen con la recta y=a (recta OA en la figura, en la que a=10)
• El punto P de la “bruja” será aquel en que se crucen las rectas BP (horizontal que pasa por el corte entre OA y la circunferencia) y AP (vertical que pasa por el corte entre OA y la recta y=a).

Con un poco de geometría se demuestra que la ecuación de la “bruja de Agnesi” es:

Y las ecuaciones paramétricas son:

Agnesi, en su tratado, no presenta ecuaciones paramétricas, pese a que el tratamiento hubiera sido más sencillo, a través de y

Hoy comentaremos otro de los problemas que llevan el nombre del genial Euler. Un ladrillo o caja de Euler (en inglés, Euler brick) es un ortoedro o paralelepípedo recto, también llamado cuboide, cuyas aristas y diagonales de las caras tienen longitudes enteras.

La solución más pequeña conocida fue descubierta por Paul Halcke en 1719 y es el cuboide de lados (240,117,44), cuyas longitudes de las diagonales de sus caras son (267,244,125), todas ellas enteras. Otras soluciones son (275,252,240), (693,480,140), (720,132,85) y (792,231,160). De hecho hay infinitas soluciones.

Si además imponemos la condición de que la diagonal mayor sea también entera, el número de soluciones se reduce considerablemente. Es el denominado “cuboide perfecto”. De hecho, hasta la fecha, no se ha encontrado ninguna caja perfecta, pero tampoco existe ninguna demostración de su inexistencia. El problema del cuboide perfecto es un problema no resuelto en Matemáticas, es decir, nadie ha encontrado ningún cuboide perfecto ni ha conseguido demostrar que no existen, lo cual le da al problema un plus de interés y misterio. Búsquedas exhaustivas por ordenador han comprobado que, de existir alguna caja perfecta, la menor de sus aristas deberá ser superior a 10 ¹²!!!

La película “El número 23″ ( Joel Schumacher, 2007) está basada en el enigma del número 23, una creencia que ya ha sido reflejada en más medios y por la cuál se cree que todos los incidentes y eventos están conectados con el número 23, con permutaciones del número 23 o números cercanos al 23.

Es un poco injusto otorgarle tanta fatalidad al número 23, pero este número primo tiene un sinfin de curiosidades. Aquí indicaré algunas, pero si te saben a poco, en la página “Prime Curios!” puedes encontrar muchas más.

• Junto con el 239, son los dos únicos enteros que necesitan 9 cubos para ser representados. En concreto 23 = 2*2^3 + 7*1^3.
• 23 es el único número primo p tal que p! tiene una longitud de p dígitos.
• El homo sapiens tiene 23 pares de cromosomas.
• 23 es el entero más grande que no es la suma de potencias distintas.
• Existen 23 discos en la columna vertebral humana.
• En una reunión con 23 personas, existe un porcentaje mayor al 50 por ciento de que dos personas compartan el misma día de nacimiento.
• 23 = 1! + (2! + 2!) + (3! + 3! + 3!).
• Según la teoría de biorritmos, todo el mundo sigue un cíclo físico de 23 días.
• La suma de los primeros 23 primos es 874 (un múltiplo de 23). Nótese que 874 = 23 x 38 y el primo nº 23 es el 83.

Las matemáticas pintan mucho en el 14 de febrero, sobre todo teniendo en cuenta que este año las matemáticas han anulado el Día de los Enamorados: 14 – 2 – 12 = 0

Bromas a parte, vamos  a buscar algunas ecuaciones cuya representación se asemeje a un corazón. Por ejemplo, si dibujamos las siguientes curvas:

   ;  

representando f(x) en el semiplano superior y g(x) en el semiplano inferior tenemos los siguiente:

No está mal el resultado, ¿no?

Veamos ahora la representación de

Bastante logrado, ¿no?

Pero como nuestr@  enamorad@ quizá no aprecie que le regalemos una función matemática, vamos a proponerte un regalo más original: Corazones enlazados con dos bandas de Moebius. Para ello recortaremos dos bandas de Moebius del mismo tamaño, girándolas en direcciones opuestas antes de pegarlas (una en la dirección de las agujas del reloj y la otra en la contraria). Este punto es esencial para que los corazones queden enlazados al final.

Después las pegaremos perpendicularmente.

Por último, cortar las bandas por la mitad en sentido longitudinal (en el cuadrado superpuesto cortarás dos veces).

¿Qué obtienes? ¡¡¡Dos corazones enlazados!!! No me digáis que no es resultón. Para enamorar a cualquiera.

 

Os propongo un divertido entretenimiento: cojamos todos los ases, reyes, reinas y jotas de una baraja de cartas, y dispongámoslos en un cuadrado 4×4 de modo que en cada fila y cada columna aparezcan los cuatro palos y las cuatro figuras. Este problema no es difícil y se pueden encontrar varias soluciones. De hecho hay 1152 soluciones diferentes, que en realidad son variantes (reflexiones y rotaciones) de las dos clases siguientes:

La solución de este problema se denomina cuadrado greco-latino o cuadrado de Euler. La atribución a Euler  es debida a que en 1782 planteó un problema similar de orden 6. Se trata de “El problema de los treinta y seis oficiales“. La pregunta es si es posible colocar a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados (en cada regimiento) en un cuadrado de 6×6 de forma que no coincidan dos oficiales del mismo rango o del mismo regimento en ninguna fila y en ninguna columna. La respuesta es no. No es posible constuir cuadrados de orden 6.

Las preguntas que surgen entonces son: ¿para qué órdenes existen cuadrados grecolatinos?, ¿para cuáles no?, ¿pueden encontrarse cuadrados grecolatinos de un orden cualquiera? El gran Euler (cómo no) demostró que el problema podía resolverse siempre que el lado del cuadrado fuese impar o multiplo de cuatro (par de clase par) y conjeturó que no existía ninguna solucción posible cuando era par de clase impar (multiplo de 2 que no es multiplo de 4), por ejemplo 6, 10, 14, etc.

El gran Leonhard Euler

Tuvieron que pasar muchos años para que Gaston Tarry, en 1901, demostrase la conjetura de Euler para orden 6. Sin embargo el problema seguía abierto para orden 10 o superiores. En 1959, R.C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron algunos contraejemplos de orden 22 siguiendo puntos de vista matemáticos, lo cual contradecía la hipótesis de Euler. Poco más tarde E. T. Parker encontró un contraejemplo del orden 10 utilizando en la búsqueda una computadora UNIVAC (lo que hace que sea uno de los primeros problemas de combinatoria resueltos con ordenador). Finalmente, en 1960, Parker, Bose, y Shrikhande demostraron que la conjetura de Euler es falsa no sólo para n=10, sino para todo n ≥ 10, múltiplo de 2, pero no de 4. Euler se equivocaba.

Este juego matemático parecería que no tendría ninguna utilidad en la vida cotidiana, pero nada más lejos de la realidad. Los cuadrados grecolatinos se utilizan en el diseño de experimentos o en la programación de torneos. Por ejemplo, si tenemos los equipos de tenis de Argentina y España, compuesto por cuatro componentes cada uno, y queremos diseñar un torneo donde todos jueguen con todos, en cuatro días diferentes y, por supuesto, en cuatro escenarios diferentes, pues recurriremos a un cuadrado grecolatino de orden 4.

Cuadrado grecolatino de orden 4

Thomas Hobbes

Thomas Hobbes (1588 – 1679)  fue un filósofo inglés, cuya obra Leviatán (1651) estableció la fundación de la mayor parte de la filosofía política occidental, sin embargo como matemático destacó por su empecinamiento en demostrar lo indemostrable: la cuadratura del círculo. Se trata del famoso problema que proviene de la Grecia clásica donde se intenta construir un cuadrado, con sólo regla y compás, que tenga la misma área que un círculo. La demostración de su imposibilidad tuvo que esperar al año 1882 en que el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema.

Pero volvamos a Hobbes, que estaba tan enamorado de la geometría que solía dibujar figuras geométricas en la ropa de su cama. ”La geometría tiene algo que la asemeja al vino”, llegó a escribir. Si se hubiera contentado con ser un aficionado más, sus últimos años de vida hubieran sido más tranquilos de lo que fueron. En 1655, a los 67 años de edad, publicó el libro titulado De corpore (“Sobre los Cuerpos“), donde aparecía un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad era una buena aproximación, pero Hobbes creía que era absolutamente exacto. Un importante matemático de entonces, John Wallis, publicó un folleto enumerando los errores de Hobbes, lo que desencadenó uno de los debates más largos, divertidos y estériles de la historia de las matemáticas.

Durante casi un cuarto de siglo Hobbes y Wallis se lanzaron todo tipo de puyas y sarcasmos en una disputa que fue en parte mantenida por Wallis porque detestaba las ideas políticas y religiosas de Hobbes. Éste respondió al ataque de Wallis reeditando su libro con una addenda titulada “Seis lecciones para profesores de matemáticas” a lo que Wallis contraatacó con “Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones”. Hobbes replicó con “Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos”, y Wallis devolvió el golpe con “Puncto dispunctio o la refutación de los puntos del señor Hobbes”.

Para darnos cuenta del tipo de lindezas que se proferían, veamos uno de los últimos ataques de Hobbes, aunque era todo un anciano de 90 años: “Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo”.