La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una fuente inagotable de sorpresas. Como ya sabéis, la sucesión de Fibonacci es la serie infinita de números naturales que se inicia con 1, 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…

Existen muchas propiedades y numerosas curiosidades sobre esta serie. Por ejemplo, la mayoría de las flores tienen un número de pétalos que coincide con la serie, esto es, 5 pétalos, 8 pétalos, 13 , 21, etc. En concreto las margaritas suelen tener 13 pétalos, por lo que si uno las quiere usar para salir de dudas sobre sus amores debe empezar a deshojarla con “me quiere” para así terminar con otro “me quiere”.

Fibonacci también se encuentra en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos líneas de espiras, las que giran en sentido horario y las que giran en el antihorario. La cantidad de espiras sigue números de Fibonacci consecutivos. Puedes entretenerte contando las espiras de este girasol y comprobando que son 34 y 55.

También se encuentra Fibonacci en las conchas de los caracoles, que son espirales que crecen según la famosa serie.

La serie de Fibonacci ha servido de inspiración a escritores, pintores y artistas en general para desarrollar su obra. Por ejemplo en la famosa novela de Dan Brown, “El código Da Vinci“, aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre. Hay manifestaciones muy sorprendentes sobre la sucesión de Fibonacci, como la del artista Jim Denevan, famoso por dibujar figuras geométricas a escala gigante en los lugares más inhóspitos del planeta. Esta vez ha dibujado en las aguas heladas del lago Baikal, en Siberia, la espiral de Fibonacci con casi mil círculos que crecen sucesivamente. Este es el resultado:

El trabajo completo ocupa una superficie de 30 kilómetros cuadrados y se desarrolló durante 15 días de trabajo con palas y camiones quitanieves sobre el hielo del lago.  En la siguiente imagen podéis comparar el trabajo de Denevan con el barrio de Manhattan en Nueva York.

Y aquí no terminan las manifestaciones artísticas inspiradas en Fibonacci. El grupo de trans-metal Tool utiliza la serie numérica en la letra de la canción Lateralus, como se ve en este vídeo:

Como véis nuestro amigo Fibonacci sigue vivo con más de ocho siglos de existencia. Y hablando de series… el problema de la semana es el siguiente:

Si sólo tenemos monedas de 1 y 2 euros, ¿de cuántas formas podemos pagar una cierta cantidad? Vamos a tener en cuenta el orden en el que damos las monedas (no es lo mismo dar primero una de 2 euros y luego una de 1 (2+1) que dar primero una de 1 y luego una de 2 (1+2). Por ejemplo, para pagar 1 euro sólo hay 1 forma. Para pagar 2 euros hay 2 formas: 1 euro +1 euro ó dando 2 euros. Bueno pues ahora te toca decirme de cuántas maneras se puede pagar 3 euros, 4 euros y así sucesivamente. ¡Ánimo!

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9 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. jorge frutos
    Nov 18, 2010 @ 11:34:01

    en numero de formas distintas que puedes realizar un pago de una cantidad entera de dinero con monedas de 1 y 2 € va creciendo segun la sucesion de fibonacci.
    por ejemplo. para pagar 1€ solo lo puedes pagar de una unica forma, dando una moneda de 1. para pagar 2€ puedes dar una de dos o dos de uno. para 3€ hay tres formas. para 4€ hay 5 formas. etc…
    se observa que crece segun dicha sucesion.
    la pregunta de miguel es: de cuantas formas diferentes puedes pagar una cantidad de dinero hasta 100€
    las formas diferentes son sucesiones de exponenciales. pero la suma de estos valores tienen la cualidad de crecer geometricamente. de hecho la razon que relaciona la suma de los n terminos que sean multiplos de 10 es 123.
    si la suma de los 10 primeros es 232, la suma de los 20 primeros es 123 veces mas, es decir, 28656.
    por lo tanto el numero de formas que se puede pagar cualquier cantidad hasta el 100 es aproxidadamente porque es un numero enorme : (tachan!) 1501115800000000000000 formas diferentes

    Responder

  2. Miguel Angel
    Nov 18, 2010 @ 22:54:16

    Para la primera parte, efectivamente Jorge, el número de formas diferentes de pagar con monedas de 1 y 2 euros sigue sorprendentemente la sucesión de Fibonacci, que aparece aquí de forma inesperada.

    En el interesante problema que propones, que consiste en establecer una relación entre la suma de términos múltiplos de 10 en la serie de Fibonacci tengo que hacerte alguna aclaración.
    Si no me equivoco, la suma de los 10 primeros términos es 143, la de los 20 primeros es 17710, la de los 30 primeros es 2178308… Si dividimos cada término entre el anterior para encontrar una supuesta razón vemos que no da siempre 123, por lo que no es una progresión geométrica como comentas, pero sí que tiende a 123 a medida que avanzamos en esas sumas. Podríamos decir que “tiende” a ser una progresión geométrica. Entonces la suma de los 100 primeros términos de la serie se podría calcular aproximadamente haciendo 143*123^9, que a mí me da 9,21*10^20. La solución exacta hecha con una hoja de cálculo da 9,27*10^20, que difiere poco de la anterior.

    Y puestos a ser precisos tampoco es el número 123 al que tienden los cocientes de las sumas, sino a 55.phi +34=122,991869, donde phi es el famoso número de oro. Demostrar esto sería más largo de explicar, pero la demostración se basa en una curiosa propiedad de la serie que dice que la suma de diez números de Fibonacci consecutivos es 11 veces el séptimo número de la serie. Intenta demostrarlo tú mismo. Si no te sale, te lo cuento en un ratito.

    Muchas gracias Jorge por haberte tenido más de una hora entretenido con Fibonacci.

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    • Miguel Angel
      Nov 18, 2010 @ 23:46:27

      Y puesto a proponer problemas con la serie de Fibonacci, a ver quién me dice por qué no existen triángulos cuyos lados sean números de Fibonacci distintos.

      Responder

      • jorge
        Nov 19, 2010 @ 16:43:04

        te refieres que un cateto sea 1, otro sea el numero de oro y el otro 1+el numero de oro?
        o 1 y nº aureo y nºaureo^2?

  3. miguel ángel
    Nov 20, 2010 @ 10:02:31

    No, me referia a números de la serie. Y sin ser rectangulo.

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