El teorema de los cuatro colores

En un plano o en una esfera no se necesitan más de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera, no queden coloreadas del mismo color”

Este es el hermoso teorema de los cuatro colores. Sencillo de enunciado, pero diabólicamente difícil de demostrar. Se trata de un problema topológico (la Topología es la rama de las Matemáticas que estudia ciertas propiedades de los cuerpos geométricos), pero que entusiasma mucho a los físicos, informáticos y por supuesto también a los cartógrafos y los amantes de los mapas. Tanto la respuesta como la historia de su demostración son realmente sorprendentes, pues no fue demostrado hace 2000 años, ni siquiera fue demostrado en el siglo XIX. Fue demostrado en una época tan reciente como 1976, ¡y por medio de ordenadores!

Mapa de España con cuatro colores

Una de las primeras tentativas de demostración fue realizada en 1879 por A. Kempe, pero contenía en realidad un error, que fue descubierto 11 años después. Lo mismo sucedió con otra prueba dada por G. Tait en 1880, que también fue probada falsa 11 años después. Lo que sí fue correctamente demostrado en 1890 es que no se necesitaban más de 5 colores.

La demostración final de que sólo cuatro colores eran suficientes fue realizada en 1976 por K. Appel y W. Haken. Necesitaron la ayuda de ordenadores para verificar nada menos que 1936 casos o configuraciones distintas. Nuevas demostraciones han reducido el número de casos a verificar, pero siempre se ha requerido la ayuda de ordenadores. En 2008 fue realizada una nueva prueba.

Problema de la semana: Una cabra está atada a una cuerda de 10 m de longitud en el vértice de un terreno con forma de triángulo equilátero de 9 m de lado. ¿Cuál es la superficie que tiene la cabra para pastar?

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8 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Rodrigo
    Mar 25, 2011 @ 15:30:06

    9x9x9=729 metros.
    Porque la distancia de la cuerda da igual,lo que importa es la superficie del triangulo.

    Responder

    • matesmates
      Mar 26, 2011 @ 21:56:54

      Uf, creo que vas muy desencaminado. ¿El área de un triángulo es el producto de sus tres lados? ¡Cielos! Mírate cómo se calcula el área de un sector circular, anda…

      Responder

  2. Víctor 2ºA
    Mar 25, 2011 @ 15:50:22

    ¿Qué era eso de solucionar los problemas antes de las 16:00?
    PD: No lo saco xD

    Responder

  3. Marta Polo 2ºE
    Mar 27, 2011 @ 21:01:04

    Miguel Ángel, el problema está mal planteado. En clase nos dijiste que el recorrido que podia hacer la cabra solo podía ser fuera del triángulo y en el planteamiento en el blog, no has puesto ese dato, que es importante. Por eso m temo que Rodrigo a dado con la solución errónea-

    La soloción es:

    84 * (pi).

    Para dar con esta solución….:

    Debemos saber que

    Sg = SECTOR GRANDE
    Sp = SECTOR PEQUEÑO

    El recorrido que puede realizar la cabra seria:

    Sg + 2*Sp

    Sg = (pi) * 10^2*300/360 = 5/6 * (pi) * 100
    Sp = (pi) * 1^2 * 120/360 = (pi) * 1* 1/3 = (pi)/3

    (Miguel ángel, yo que tú escribiria esto en una hoja de forma normal porque en el ordenador lia más)

    Entonces luego se sumaria los dos SECTOR.

    5/6 * (pi) * 100 + 2 *(pi)/3 = (pi) * (5*100/6 + 2/3) = (pi) * (500/6 + 4/6)
    = (pi) + (504/6) = 84 * (pi)

    Sí, es un poco lioso, Jajaja.

    Pero… ¿está bien?

    Responder

    • Marta Polo 2ºE
      Mar 27, 2011 @ 21:03:17

      Perdón por las faltillas de ortografía y las palabras en las que se me cuelan letras… es que este no es mi ordenador y no estoy muy acostumbrada al teclado.

      Responder

    • Marta Polo 2ºE
      Mar 28, 2011 @ 14:35:07

      Quiero añadir que por supuesto el resultado es en metros-cuadrados

      Responder

  4. MIguel Ángel
    Mar 28, 2011 @ 15:29:37

    Muy bien, Marta. Como siempre, en la vanguardia de las matesmates. Gracias por tu interés.

    Responder

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