Los primos de Mersenne

Un número de Mersenne es un número de la forma

M_p=2^p-1

donde p es un número natural. Si p es un número compuesto, entonces M_p también lo es, por lo que M_p sólo puede ser primo si  p también lo es. La cuestión es que esto no ocurre siempre, es decir, no siempre que p es primo se tiene que M_p lo es. Cuando esto ocurre se dice que M_p es un primo de Mersenne.

Marin Mersenne

Cuando Marin Mersenne contaba con 56 años de edad publicó un libro titulado Cogitata Physico-Mathematica en cuyo prefacio comentaba que los primeros primos de la forma 2^p-1 eran los que correspondían a p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. Las comprobaciones hasta p=19 no fueron demasiado problemáticas, pero a partir de ahí los cálculos tenían ya cierta entidad.

En 1774, Euler probó que M_{31}=2^{31}-1 era un número primo, por lo que Mersenne iba bien en su predicción. Más adelante, en 1876, Lucas demostraba que M_{127}=2^{127}-1 también era un número primo. No iba mal Marin Mersenne.

Pero poco después la predicción de Mersenne se torció un poco, ya que en 1883 Pervushin demostraba que M_{61}=2^{61}-1 era primo, hecho que significaba que Mersenne se había dejado un primo por el camino. Pero bueno, al parecer había acertado en todos los que había calificado como números primos… ¡Un momento, faltaba el M_{67}! ¿Qué pasó con él?

En 1903, en una de las reuniones de la American Mathematical Society, un matemático desconocido hasta la fecha llamado Frank Nelson Cole presentó un trabajo titulado Sobre la factorización de grandes números. Cuando el Presidente de la AMS llamó a Cole para que expusiera su trabajo, éste se colocó delante de una pizarra y comenzó a calcular a mano 2 elevado a 67 (vamos, multiplicó 2 por sí mismo 67 veces) sin pronunciar ni una palabra. Cuando terminó restó 1 al número obtenido, dejando escrito el resultado final. Después se dirigió a una zona de la pizarra que no estaba utilizada y, todavía sin decir palabra ni frase alguna, realizó a mano la siguiente operación:

193707721 \cdot 761838257287

Cuando concluyó la multiplicación se pudo comprobar que el resultado coincidía con el obtenido anteriormente. Esto es, Cole había probado que M_{67} no era un número primo. Hecho esto, Cole se volvió a sentar sin decir absolutamente nada y los asistentes a su presentación le dedicaron una calurosa ovación.

Por cierto, más adelante Cole comentó que encontrar esos dos factores le había llevado “tres años de domingos”.

Actualmente, el mayor primo de Mersenne que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 – 1, que tiene 12.978.189 cifras. Se trata del 47º primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008. De momento no se conocen más. Esta es la Tabla de primos de Mersenne conocidos hasta el momento, con los datos de su descubridor y año de descubrimiento.

Fuente: gaussianos.com

Saber más: Primos de Mersenne en Wikipedia

Problema de la semana:

  • ¿Cuántos números de cinco cifras son capicúas?
  • ¿Cuáles son los más cercanos entre sí?
  • ¿Y los más alejados?

 

Anuncios

11 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Víctor 2ºA
    Abr 02, 2011 @ 11:54:38

    Comenzemos desde el principio y con la primera pregunta:

    ¿Cuántos números de cinco cifras son capicúas?

    Primero, he experimentado con los de 3 cifras, que son 90, es decir:
    101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191
    Y así con los demás números, nos queda que, una vez puesto el mismo número al principio y al final hay 10 combinaciones diferentes con el de en medio, y con el de los lados, 10, es decir, 90.

    Con los de 4 cifras ocurre exactamente lo mismo:
    1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991
    Y así con los demás

    Ahora pasemos a los capicúas de 5 cifras:
    Existen 9 posibilidades para la primera y última cifra, por principio, y tan solo deben coincidir, de la zona interior del número, las X: 0X0X0
    Y hay 10 posibilidades para añadir ahí, es decir, 10×9=90 🙂
    Pero claro está que, al ser de 5 cifras, hay OTRA cifra más en medio, para la cual hay otras 10 posibilidades, asi que se hace otra multiplicación, 90×10= 900
    Esa es la respuesta, hay 900 números capicúas de 5 cifras 🙂
    Espero que esté bien 🙂

    ¿Cuáles son los más cercanos entre sí?

    10001 y 10101

    Este creo que está bien, sería patético que no lo estuviese xD

    ¿Y los más alejados?

    10001 y 99999

    Este creo que también está bien 🙂

    Ahí te lo dejo, el primero no era muy difícil, bastaba con experimentar un poco las posibilidades 🙂

    Responder

    • Alejandro Garcia
      Abr 02, 2011 @ 15:37:46

      las 2 ultimas preguntas pueden tener truco, y ser:00000 y 00100 laprimera, y 00000 y 99999

      Responder

    • Alejandro Garcia
      Abr 02, 2011 @ 15:48:32

      cuando vas a responder a mi problema

      Responder

      • Alejandro Garcia
        Abr 02, 2011 @ 15:50:24

        este:en un tablero, ponen cerillas, de forma que se lee cien metros(100M), ¿como quitando una cerilla haces que ponga la milésima parte?

      • matesmates
        Abr 02, 2011 @ 21:38:37

        La verdad es que en su momento lo pensé, pero no conseguí la respuesta. Y ahora que me lo recuerdas tampoco. A ver si Víctor o Marta se atreven…

    • matesmates
      Abr 02, 2011 @ 21:35:49

      Bien Víctor, la primera respuesta es la correcta: 900. En realidad es más fácil de lo que parece porque se empieza por 100__ (dejo las dos últimas cifras en blanco porque son las dos primeras) y se termina en 999__. Por lo tanto hay tantos capicúas de 5 cifras como números entre 100 y 999, o sea, 900.
      Para las otras dos preguntas creo que no me he expresado bien. Me refería a números capicúas CONSECUTIVOS. A ver si sale.

      Responder

      • Víctor 2*A
        Abr 03, 2011 @ 07:46:58

        Es decir, que diga 2 capicúas consecutivos con 5 cifras cercanos al 10000 o ¿A qué te refieres? No hay capicúas de 5 letras consecutivos, ya que si sumas una unidad sumarás también 10000 a la vez, explícame ambos problemas

      • matesmates
        Abr 03, 2011 @ 20:48:01

        Vamos a ver, me refiero a un capicúa y al siguiente capicúa. No quiere decir que le sumes 1!!! O sea, la pregunta es: ¿cuál es la diferencia mínima y máxima entre un capicúa de 5 cifras y el siguiente? ¿Me he explicado ahora?

  2. Víctor 2ºA
    Abr 04, 2011 @ 14:24:55

    Bueno, pues vamos allá:
    ¿Cuáles son los más cercanos entre sí?
    89998, 90009
    Es decir, 11 unidades

    ¿Y los más alejados?
    La máxima cantidad de 2 consecutivos es de 101.

    Esto creo que no lo tengo bien 😮

    Responder

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s