La paradoja del cumpleaños

¿Cuál pensáis que es la probabilidad de que al menos 2 personas de un grupo de 23 cumplan los años el mismo día del año? Si nos apresuramos en responder a la pregunta, la intuición nos indicará que es muy improbable que dos fechas coincidan. Sin embargo, de forma sorprendente la probabilidad de que 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día del año es de más del 50%. Es más, el mismo planteamiento para un grupo de 60 personas da un resultado mayor del 99% de probabilidad. Pero… ¿cómo puede ser? Vamos a calcularla.

Vamos a calcular la probabilidad del suceso contrario, esto es, de que no compartan cumpleaños.

  • Supongamos que hay dos personas en el grupo. La probabilidad de que tengan un cumpleaños distinto son 364/365 = 0,9973, o sea del 99,73%.
  • Entra un tercero. La probabilidad de que los tres tengan cumpleaños diferentes es 364/365 * 363/365 = 0,9918, o sea de un 99,18%.
  •  Parece que la probabilidad no desciende demasiado a medida que entran personas en el grupo, pero si seguimos calculando la probabilidad de que 23 personas tengan distintos cumpleaños dará 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * … * 343/365, que es igual a 0,493. Esto significa que hay un 49,3% de probabilidad de que los 23 tengan cumpleaños diferentes y, a la inversa, un 50,7% de posibilidades de que al menos dos compartan cumpleaños.

Esta es la gráfica que relaciona el número de personas y la probabilidad de que compartan cumpleaños:

Como se puede ver la probabilidad aumenta hasta alcanzar un 90% con 41 personas y prácticamente un 100 % para grupos de más de 60 personas.

La paradoja del cumpleaños en sentido estricto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica, es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Y ya sabemos que, como en el problema de la cabra de Monty Hall, a veces la intuición nos engaña…

El problema de la semana va de relojes: Un reloj atrasa ¼ de minuto durante el día, pero, debido al cambio de temperatura, adelanta 1/3 de minuto durante la noche. ¿Al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy, al atardecer, marca la hora exacta?

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12 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Víctor 2*A
    May 19, 2011 @ 15:50:57

    Allá vamos, Miguel Ángel 🙂
    Lo nornal es pensar que son 24 dias (yo también lo pensé), pero:
    1/3-1/4=1/12
    Calculé multiplicando un poco al azar, y tras 2 o 3 intentos probé con 20 días:
    1/12×20=5/3
    pero llega la noche, claro está y el reloj se adelanta 🙂
    5/3 1/3=6/3
    Y 6/3 es igual a dos, es decir, 2 minutos
    En consecuencia, la diferencia sería de 2 minutos al cabo de 20 días y una noche =)
    Con procedimiento y todo 😉

    Responder

  2. Víctor 2*A
    May 19, 2011 @ 15:59:48

    Perdon por el otro comnentaroo de antes de las
    Cuatro, le di al ok sin kerer aki dejo un mensaje igual (sube este mejor)
    Allá vamos, Miguel Ángel 🙂
    Lo nornal es pensar que son 24 dias (yo también lo pensé), pero:
    1/3-1/4=1/12
    Calculé multiplicando un poco al azar, y tras 2 o 3 intentos probé con 20 días:
    1/12×20=5/3
    pero llega la noche, claro está y el reloj se adelanta 🙂
    5/3 1/3=6/3
    Y 6/3 es igual a dos, es decir, 2 minutos
    En consecuencia, la diferencia sería de 2 minutos al cabo de 20 días y una noche =)
    Con procedimiento y todo 😉

    Responder

    • Víctor 2ºA
      May 19, 2011 @ 20:14:14

      Vaya, este también salió un minuto antes de las 16:00
      ¬¬
      No me lo tomes en cuenta, el reloj de mi móvil (con l k lo escribí) va distinto k el del ordenador (k va igual k la página)

      Responder

  3. Alejandro Garcia
    May 19, 2011 @ 16:34:50

    yo digo que son 27 días,porqu si al inicio de undía el reloj a avanzado 5 segundos (1/4, son 15 seg que retrocede, y 1/3, son20 segundo que avnaza), a los tres días , es como si no sumara, pero a partir de hay ya avanza 5 seg/día tarda 24 en llegar a los 120 seg de 2 min, por lo que 3+24son 27.

    Responder

    • Alejandro Garcia
      May 19, 2011 @ 16:48:00

      pod´rían sewr 28, si no fuese por que es por la tarde

      Responder

    • Víctor 2ºA
      May 19, 2011 @ 20:09:28

      Ten en cuenta que marca la hora exacta, es decir, la diferencia entre ambas es de 0
      Y llega la noche, asi que la diferencia al amanecer es de 20
      Calcula Alex, no estoy de acuerdo con tu respuesta 😉

      Responder

  4. Alejandro Garcia
    May 19, 2011 @ 16:36:03

    aunque tambein puede ser en un momento, cogiendo el reloj y adelantandolo.

    Responder

  5. Alejandro Garcia
    May 19, 2011 @ 16:50:03

    miguel angel , te digo un grupo de personas que tiene un100% de probabilidades, uno de 366.

    Responder

  6. Víctor 2ºA
    May 19, 2011 @ 20:07:57

    Bueno, no se si habrá quedado claro, al ser el atardecer, por la noche adelanta 20 minutos
    Luego resta 15 luego suma 20…
    asi que ya llevariamos 25 al cabo de despues de la segunda noche
    ahora suma de 5 en 5…
    primero hasta 60
    Si empezamos con 20 minutos, faltan 40
    40/5=8
    Así que ya han pasado 8 días y una noche, nos faltan otros 60 minutos
    60/5=12
    Y 12+8=20
    Pero en ese momento sería el atardecer, asi que luego pasa la noche y… 2 minutos 😉
    Me gusta más el otro comentario,es más matemático, y tal vez este este peor, asi que basate en el otro 😀

    Responder

  7. Miguel Ángel
    May 19, 2011 @ 23:02:18

    ¡Fenómeno, Víctor! La solución es, efectivamente, 20 días.
    Voy a dar la solución en segundos porque creo que es más clara. Durante un día completo, el reloj adelanta 1/3 de minuto, esto es, 20 segundos, y luego se retrasa 1/4 de minuto, esto es, 15 segundos. En total, cada día se adelanta 20 – 15 = 5 segundos. Muchos pensarán que la respuesta es 120 : 5 = 24 días, pero esto no es así; la intuición de nuevo nos juega una mala pasada. El vigésimo día el reloj habrá adelantado 20 * 5 = 100 segundos, y por la noche se adelantará los 20 segundos que le quedan para completar los dos minutos.
    Et voilá.
    Gracias de nuevo a todos, los visibles y los invisibles, por vuestro interés.

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