Conjuntos de Sidon

Recientemente saltaba a las noticias que un par de matemáticos españoles habían resuelto un teorema que llevaba casi 80 años sin que nadie lo lograra. Se trataba de Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, junto con el húngaro Imre Ruzsa. El teorema es de enunciado sencillo, pero ya sabemos en matemáticas que detrás de un enunciado sencillo a veces se encuentra un endemoniado problema de difícil resolución. Son muchos los ejemplos en la historia de las matemáticas, como el famoso teorema de Fermat o el teorema de los Cuatro Colores, que ya han aparecido en este blog. Este es también el caso del problema de los conjuntos generalizados de Sidon.

El problema fue planteado en 1932 por Simon Sidon, un analista húngaro, a Paul Erdos. Los conjuntos de Sidon son conjuntos de enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. Así de fácil. Por ejemplo, {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} es un conjunto de Sidon mientras que  {1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35} no lo es porque aparecen sumas repetidas: 1+23=7+17. Construir conjuntos de Sidon no es difícil. Lo interesante es construirlos con el mayor número de elementos posible. La cuestión es: ¿cuál es el mayor tamaño que puede tener un conjunto de Sidon en {1, . . , n}? ¿Y si permitimos que cada suma pueda aparecer hasta g veces? (conjuntos g-Sidon). Esto es lo que Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa e Imre Ruzsa han dado luz. Por cierto, Javier Cilleruelo fue mi profesor de Teoría de Números en la U.A.M. y quien me metió el venenillo de esta rama de las matemáticas. 

Problema de la semana:

El tío Gilito reparte 1.000 euros entre Ana, Berta y Carlos del siguiente modo: a Ana le da 1 euro, a Berta 2 euros y a Carlos 3 euros, posteriormente  le vuelve a dar a  Ana 4 euros, a Berta 5 euros y a Carlos 6 euros, a Ana otra vez 7 euros y así sucesivamente hasta que se agoten los 1.000 euros. ¿ cuánto dinero habrá  recibido cada uno de ellos?

Anuncios

4 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Víctor 2ºA
    May 27, 2011 @ 16:00:11

    Lo he hecho probando y no he tardado mucho
    Tras probar primero con 100 he visto que hacía “la ronda” (darle a los tres) muy pocas veces, asi que comencé a probar desde 30 y cuando llegué a 40 (ya haciéndolo con 1000 €) se me comenzaron a aproximar las cifras, hasta que finalmente:
    1+4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37+40+43=330 € para Ana
    2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38+41+44=345 € para Berta
    3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33+36+39+42=315 € para Carlos
    Al sumar 330+345+315=990 €
    Por lo cual sobran 10 € que se los queda el tío o se los da a algún mendigo de la calle 😀
    Ha sido dentro de lo que cabe fácil, pero no encontré ninguna ecuación 😦
    A ver que tal me ha salido =D

    Responder

  2. MIguel Ángel
    May 29, 2011 @ 18:45:25

    Enhorabuena Víctor. La cantidad de 1000 € no era demasiado grande para que se pudiera resolver el problema por “la cuenta de la vieja”, esto es, por tanteo. Lo interesante de cualquier problema es generalizarlo y encontrar algoritmos o fórmulas que nos permitan solucionarlo para cualesquiera otros datos de partida. Porque si en vez de 1000 € fuesen 1.000.000 € aún estarías sumando números a estas horas!!! En este caso se trata de saber cómo se suman progresiones aritméticas como las que surgen en el problema, por un lado 1+2+3+4… y por otro las que tienen diferencia 3: 1+4+7+10… Investiga y encontrarás una fórmula sencilla que te permitirá atacar el problema del tío Gilito repartiendo un millón de euros u otra cantidad. ¡Quién tuviera un tío Gilito!

    Responder

  3. Raúl García
    Jun 01, 2011 @ 03:17:32

    Pues la verdad es que el problema es relativamente sencillo…

    en primer lugar, al tratarse de una sucesión aritmética, tenemos que la suma total de la sucesión es 1000 y que tenemos en total 44 términos que nos dan esa suma (porque si cogemos el 45º, nos pasaríamos…esto es una simple aplicación de la fórmula de las sucesiones aritméticas).

    ahora que tenemos el número de términos tenemos que realizar dos operaciones: en primer lugar, dado que hay 3 “sobrinos”, tenemos que dividir 44 entre 3, y obtener el resto también de 44 entre 3, esto es 14 y 2. esto significa que hay 14 “rondas” en las que todos reciben dinero, y una última ronda en la que sólo 2 de ellos reciben.

    ahora bien, como el reparto del dinero es de 1 en 1, significa que una vez finalizada cada ronda, el 2º va a tener en total 1€ más por ronda que el 1º, y el 3º tendrá 2€ más por ronda que el 1º, es decir, en el ejemplo al ser 14 rondas completas significa que Berta tiene 14€ más que Ana y Carlos tiene 28€ más que Ana (con esto se sacaría una ecuación, pero faltaría añadirle los repartos restantes que serían como mucho 2 más)

    Son las 3 de la madrugada, no sé explicarlo mejor ^_^

    Responder

  4. Carlos Puerto
    Oct 01, 2012 @ 17:57:03

    La solución puede darse así:
    Tenemos que A(Ana)+B(Berta)+C(Carlos)=1000
    Sea K el numero de veces que reparte el dinero
    A= Σ1+3n desde 0 hasta k
    B= Σ2+3n desde 0 hasta k
    C= Σ3+3n desde 0 hasta k

    tenemos entonces la siguiente ecuación
    Σ1+3n+2+3n+3+3n ≈ 1000 la sumatoria va desde 0 hasta k siendo k entero
    Σ 6 + 9n ≈ 1000
    aplicando propiedades de sumatoria tenemos que
    6k + 9Σn ≈ 1000
    La sumatoria de los primeros k-ésimos terminos de n es igual a k(k+1)/2
    6k+9k(k+1)/2 ≈ 1000
    si consideramos que k pertenece a los reales
    12k+9k^2+9k = 2000
    9k^2+21k-2000=0
    resolviendo los ceros de la ecuación encontramos que k = 13.78, no obstante al ser k un indice lo acercamos a 14 luego k=14
    por lo tanto
    A= Σ1+3n desde 0 hasta 14
    B= Σ2+3n desde 0 hasta 14
    C= Σ3+3n desde 0 hasta 14

    A = 330
    B = 345
    C = 360
    pero
    330+345+360 = 1035
    por lo tanto
    C= Σ3+3n desde 0 hasta 13, luego las respuestas son:
    A = 330
    B = 345
    C= 315

    Responder

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s