Évariste Galois y las ecuaciones polinómicas

Es por todos conocidas  y, de hecho, es una de las fórmulas matemáticas que permanece en la memoria para toda la vida aunque uno se desvincule de las matemáticas para siempre, las soluciones de la ecuación de segundo grado  ax2 + bx + c = 0

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

Ahora bien, ya no son tan conocidas las soluciones de la ecuación de tercer grado  ax3 + bx2 + cx + d = 0, cuyas fórmulas son bastante grandes (pinchar aquí para verlas, no asustarse) y sólo se estudian en cursos avanzados de matemáticas.

Si nos vamos a la ecuación de cuarto grado ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , la complejidad aumenta considerablemente (ver aquí las soluciones).

Como vemos en estas enrevesadas fórmulas, todas se basan en que hay que aplicar únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces con los coeficientes de la ecuación. El éxito obtenido con estas ecuaciones de hasta cuarto grado parece augurar que todas las ecuaciones van a tener soluciones reales, complicadas eso sí, pero soluciones. Pues no. El teorema de Abel o teorema de Abel-Ruffini postula que no puede resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

 

Évariste Galois

a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,

con n superior o igual a cinco. 

El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando sólo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces con los coeficientes de la ecuación. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por Évariste Galois, del que ahora se ha cumplido el segundo centenario de su nacimiento el 25 de octubre de 1811, un matemático francés que en su corta vida (21 años) se reveló como un gran genio, haciendo aportaciones de primer orden como ésta.

Problema de la semana:

Se acerca un bonito día, el 11 del 11 del 2011, así que el problema de esta semana va con estos números.

¿Cuáles son las dos últimas cifras de 11^2011 (11 elevado a 2011)? Bueno, la última está claro, es 1. ¿Y la segunda?

Ánimo.

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4 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. sandra hernanz saez
    Nov 04, 2011 @ 16:09:04

    La solución es 2 ya que 11×11 es igual a 121, 11x11x11 es igual a 1331 y si nos vamos fijando en la penúltima cifra de cada número, vemos que es una mas que la anterior. Con lo que 11 elevado a cuatro su penúltima cifra nos saldrá cuatro y asi sucesivamente haste llegar a 10 en la que la penultima cifra será 0 y segúirá siendo cero hasta que lleguemos a 11 elevado a 1000 en la que la penúltima cifra será 1, cuando lleguemos a 2000 la penúltima cifra será 2 y asi sucesivamente.

    Y como el preblema plantea que cuando es la penúltima cifra de 11 elevada a 2011 al estar en 2000 la cifra es 2.

    Sandra Hernanz Saez.

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  2. Miguel Ángel
    Nov 06, 2011 @ 10:17:38

    Sandra, has comenzado muy bien, observando que las cifras aumentan con cada potencia. Pero si la cuenta vuelve a 0 cada vez que la potencia sea múltiplo de 10, entonces 11 ^1000 terminará en 0, no en 1. Revisa tu solución que ya lo tienes.

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  3. Miguel Ángel
    Nov 13, 2011 @ 23:35:17

    Sandra, deja por aquí la respuesta correcta y te la apunto. OK?

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  4. Erick
    Ene 03, 2012 @ 04:46:43

    Sandra

    11^2011 = 11^2010 * 11^1
    = (11^10)^201 * 11^1
    = (a*100+1) * 11 para algún entero positivo “a”
    = a*1100 + 11

    Así que las últimas dos cifras son 1 y 1

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