Números piramidales

Supongamos que tenemos bolas de cañón del mismo tamaño y queremos apilarlas en una pirámide de base cuadrada. Si fuera de un sólo piso necesitaríamos una bola, de dos 5 bolas, de tres 14 bolas, de cuatro 30 bolas.

A estos números se les denomina números piramidales y son los formados por las sucesivas sumas de cuadrados:

P(1) = 1, P(2)=1+4, P(3)=1+4+9, P(4)=1+4+9+16 …

La fórmula que nos permite encontrar el enésimo número piramidal es

\sum_{k=1}^nk^2={n(n + 1)(2n + 1) \over 6}={2n^3 + 3n^2 + n \over 6}

Dicha fórmula ya aparecía en el Liber Abaci de Fibonacci en 1202.

George Neville Watson

Un problema sumamente  interesante es el siguiente: tenemos una pila piramidal de bolas y queremos disponerlas en el suelo formando un cuadrado, ¿cuántas bolas necesitamos? ¿cuántas soluciones podemos encontrar? Además de la solución trivial 1, lo sorprendente del denominado “problema de las bolas de cañón” (cannonball problem) es que sólo tiene otra solución, que es 4900. Este problema fue conjeturado por Lucas en 1875, sin embargo la demostración completa no llegó hasta 1918, debida al matemático inglés George Neville Watson (1886 – 1965).

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