Kissing number

¿Cuál es la mejor forma de apilar unas naranjas? Parece un problema trivial, pero nada más lejos de la realidad. Se trata del conocido como kissing number problem, en español número de osculación.

En dimensión 2 cada círculo se rodea de otros 6

Pongámonos en el caso más sencillo, como es el plano bidimensional. Carl Friedrich Gauss demostró que el empaquetamiento hexagonal es la de mayor densidad. En ella cada círculo está rodeado de otros seis, por lo que su número de osculación es 6. La densidad de este empaquetamiento es:

\frac{\pi}{\sqrt{12}} \simeq 0.9069

Ahora vayámonos al espacio tridimensional. Las dos disposiciones más comunes son llamadas empaquetamiento cúbico centrado en caras y empaquetamiento hexagonal, pero en ambas combinaciones cada esfera está rodeada por otras 12 (kissing number= 12), y ambas tienen una densidad media de

\frac{\pi}{\sqrt{18}} \simeq 0,74048.

Ahora bien, ¿éstas son las disposiciones más densas posibles? ¿Sería posible rodear cada esfera con otras 13 en alguna disposición irregular? En 1611 Johannes Kepler había conjeturado que esta es la densidad máxima de las disposiciones tanto regular como irregular, en la conocida como conjetura de Kepler. Este fue un tema de controversia entre los matemáticos Isaac Newton y David Gregory. Newton pensaba que el límite era 12 y Gregory que era 13. Aunque el problema parecía sencillo (al menos en su enunciado) hubo que esperar varios siglos para que en 1998 Thomas Hales demostrase la conjetura de Kepler. 

En dimensión 4, durante un tiempo se ignoró si la solución era 24 o 25, pero en 2003 el matemático ruso Oleg Musin probó que la solución correcta era 24. Para dimensiones superiores los resultados conocidos son escasos. Sólo se conocen los kissing number para n = 8 (240), y n = 24 (196560). Para algunas dimensiones existen algunas estimaciones y se conjetura que muestra una tendencia de crecimiento exponencial, pero sigue siendo un problema abierto de las matemáticas.

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