La curva de Hilbert

Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura inferior. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (orden 2). Observemos cómo la curva serpentea comenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. Repetimos el procedimiento una tercera vez. Si realizáramos el proceso indefinidamente obtendríamos la curva de Hilbert.

La curva cubre todo el cuadrado y tiene la curiosa propiedad de ser una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad. Pero, si una curva es unidimensional, ¿cómo es posible que llene un espacio bidimensional? ¿Podemos decir entonces que esta curva es también bidimensional?
Efectivamente, la dimensión fractal de la curva es 2, en el sentido de dimensión que estableció Hausdorff hacia 1917. Esto es, se trata de una curva que se comporta como una superficie, uno de esos «monstruos geométricos» como fueron tildados los fractales en sus inicios.

La curva de Hilbert provee, por lo tanto, una correspondencia entre el espacio lineal y el espacio bidimensional, que tiene la propiedad de que conserva bastante bien la localidad. Esto es, si (x,y) son las coordenadas de un punto dentro del cuadrado unitario, y d es la distancia a lo largo de la curva cuando se llega a ese punto, entonces los puntos que tienen distancias cercanas a d también tienen valores cercanos a (x ,y).

Debido a esta propiedad de localidad, la curva de Hilbert se utiliza en la informática. Por ejemplo, la curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea. Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad.  Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.

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