Torres de Hanoi

Cuenta la leyenda que en el antiguo templo de Brahma en Benarés se encontraba una cúpula que señalaba el centro del mundo. Bajo la cúpula se encontraba una bandeja sobre la cual existían tres agujas de diamante. Allí colocó Brahma 64 discos de oro en una de las agujas, siendo ordenados por tamaño: el mayor en la base y el menor arriba. Incansablemente, día tras día, los sacerdotes del templo mueven los discos haciéndoles pasar de una aguja a otra, de acuerdo con las leyes fijas e inmutables que dictó Brahma: “El sacerdote de turno no debe mover más de un disco al día, y no puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro“. El día en que los 64 discos hayan sido trasladados desde la aguja en que Brahma los puso a una cualquiera de las otras dos agujas, ese día la torre, el templo y el mundo entero desaparecerán.

Édouard Lucas

Esta bonita leyenda resultó ser un gancho publicitario para el matemático francés Éduard Lucas, que divulgó el juego con el nombre de las Torres de Hanoi en 1883. Lo comercializó bajo el pseudónimo de Prof. N. Claus de Siam, mandarín del Colegio de Li-Sou-Stian (dos anagramas de Lucas d’Amiens y Saint Louis respectivamente, liceos donde Lucas estudió e impartió la docencia). En aquella época, era muy común encontrar matemáticos ganándose la vida de forma itinerante con juegos de su invención, y el juego resultó tan atractivo que ha perdurado hasta nuestros días. Además, invita a realizarse la pregunta: “si la leyenda fuera cierta, ¿cuándo será el fin del mundo?”. Veamos.

El mínimo número de movimientos son 7, que se obtienen con 3 discos, como se puede comprobar fácilmente. Si aumentamos a 4 discos, los movimientos necesarios serán 15, como se muestra en la imagen animada.

Los 15 movimientos surgen de realizar 7 movimientos para transladar los tres primeros discos a una aguja contigua, otro movimiento para transladar el disco grande a la aguja del extremo y otros 7 movimientos para volver a transladar los tres discos. En total, 2·7+1=15.

En general, por cada disco que aumentamos el número de movimientos se duplica y se añade una unidad, esto es Tn+1=2Tn+1, donde Tn es el número mínimo de movimientos para n discos. La fórmula que nos permite hallar el número de movimientos para n discos es Tn=2n−1, y se demuestra fácilmente por inducción.

Conclusión: el fin del mundo llegará al cabo de 264-1 movimientos, o sea, 1.84467441 × 1019 días. Para hacernos una idea de las dimensiones de este número, si permitiéramos a los monjes ir algo más deprisa que haciendo un movimiento diario, por ejemplo haciendo un movimiento cada segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en unos 585 mil millones de años!!! Como comparación, la Tierra existe desde hace 5 mil millones de años y el Universo desde 20 mil millones, sólo una pequeña fracción de esa desorbitada cifra. ¿Cómo será el Universo el día que terminen?

Esta entrada participa en la Edición 3.141 de abril del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión organiza el blog DesEquiLIBROS.

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3 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Trackback: Torres de Hanoi
  2. eulerianos
    Abr 24, 2012 @ 00:28:11

    Desconocía el principio de la leyenda, me ha gustado 😀

    Responder

  3. Fabiana
    Abr 24, 2012 @ 02:32:17

    Maravilhoso, adorável e magnífico.

    Responder

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