La soledad de los números primos

A veces el título de una novela es lo que hace decirte a tomarla de la estantería o no. Ese fue el caso de la novela de Paolo Giordano, donde el título resulta tremendamente atractivo para cualquier aficionado a las matemáticas, pero leyendo la sinopsis de la contraportada te termina de atrapar. En ella dice: «En una clase de primer curso Mattia había estudiado que entre los números primos hay algunos aún más especiales. Los matemáticos los llaman números primos gemelos: son parejas de números primos que están juntos, o mejor dicho, casi juntos, pues entre ellos media siempre un número par que los impide tocarse de verdad. Números como el 11 y el 13, el 17 y el 19, o el 41 y el 43. Mattia pensaba que Alice y Él eran así, dos primos gemelos, solos y perdidos, juntos pero no lo bastante para tocarse de verdad.»

Y efectivamente es así: sólo hay dos números primos consecutivos, el 2 y el 3; en los demás, como mínimo, media un número par. Aunque, eso sí, podemos encontrar “agujeros” de números primos tan grandes como queramos. Centrándonos en los primos gemelos, hay 35 parejas de primos gemelos menores que 1000 y son:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

El primer matemático en acuñar el término de “primos gemelos” fue el matemático alemán Paul Stäckel (1862 — 1919) quien ya trabajó en la siguiente cuestión: ¿existen infinitas parejas de primos gemelos? Se sabe que los primos gemelos empiezan a escasear a medida que avanzamos en la lista de los números naturales, pero las computadoras nos demuestran que, pese a la escasez, sigue habiendo primos gemelos extraordinariamente grandes. El último record es de números de más de cien mil trescientas cifras.

La conjetura de la infinitud de los primos gemelos aún no ha sido demostrada y la mayoría de los teóricos de números cree que es cierta. En realidad, en 1849 Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 sería la conjetura citada.

Pero no todo es oscuridad con respecto a esta conjetura y se han obtenido resultados parciales en la demostración de la misma. En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que q – p < c·ln(p), donde q denota el número primo que sigue a p. La constante c ha sido mejorada sucesivamente. Por otro lado, en 1973, Jing-run Chen publicó una prueba de que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos.

Otras propiedades de los primos gemelos son:

  • A partir del par (5, 7), el número intermedio es siempre múltiplo de 6 (¿Te atreves a demostrarlo? Es muy sencillo).
  • Se sabe que la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge a un número, siendo 1’902160583104 el valor aproximado de esta constante, que se conoce como constante de Brun. Esto contrasta con la suma de los inversos de todos los primos, que diverge.
  • Se ha demostrado que el par (n, n + 2) es de números primos gemelos si y sólo si:

4((n-1)! + 1) \equiv -n \pmod{n(n+2)}

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