Gauss y la distribución de los números primos (I)

A título póstumo el rey Jorge V de Hannover acuñó una moneda para honrar a Carl Friedrich Gauss con el título de Príncipe de los Matemáticos. Y no es exagerado porque Gauss ocupa los primeros puestos entre los grandes genios de las matemáticas, elevando las matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas.

El joven Gauss

A diferencia de otros matemáticos, la mayoría provenientes de familias adineradas, Gauss nació en una familia muy pobre de Brunswick (Alemania) el 4 de mayo de 1777. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss dio muestras tempranas de su genio precoz, mostrando un talento especial para los números y para el lenguaje. En 1787, a los diez años de edad, se cuenta la famosa anécdota de que en la clase de aritmética, su profesor Büttner propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales. El maestro en realidad quería unos minutos de tranquilidad, pero Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se» (‘ya está’): ¡los cien primeros números naturales suman 5.050! Gauss se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante: 1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =… = 101. Por lo tanto, sólo debía multiplicar 101· 50 = 5050. Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética.

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})  n}{2}

Antigua escuela de Brunswick

Büttner tenía de ayudante un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era una amante de las matemáticas. A pesar de la diferencia de edad,  juntos se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis.

Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para asegurar que su educación llegara a buen fin. Ingresó en el Collegium Carolinum para continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Entre sus lecturas de matemáticas de esta época están los Principia Mathematica de Newton, el Ars Conjectandi de Jackob Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. Allí iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, como la distribución de los números primos, uno de sus highlights de su vida al que dedicaremos la siguiente entrada.

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