Gauss y la distribución de los números primos (II)

En los libros de historia de las matemáticas consta que el Teorema de los Números Primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, pero, seis años antes y de forma independiente, un adolescente Gauss ya supo apreciar un orden en el aparente caos de la distribución de los números primos. Con tan sólo 14 años Gauss escribió una nota donde indicaba el patrón con el que aparecen los números primos. Para ello revisó las tablas de números primos hechas por Johanes Heinrich Lambert y George Von Vega, que llegaban hasta el número 400.000, y las cotejó con las tablas de logaritmos llegando a la conclusión de que para números grandes de x se cumplía:   donde p(x) representa el número de primos menores o iguales que x.

¿Cómo encontró Gauss esta relación?

Si calculamos p(x) aparentemente no se encuentra ningún orden, pero la cuestión empieza a cambiar cuando se calcula p(x) para las diferentes potencias de 10.

x p(x) x / p(x)
10 4 2,5
100 25 4
1.000 168 5,952
10.000 1.229 8,137
100.000 9.592 10,425

Parece que el cociente se estabiliza aumentando de 2 en 2 por cada aumento de la potencia de 10, lo cual sugiere una relación con el logaritmo de x. Y efectivamente, si añadimos la columna de ln x:

x p(x) x / p(x) ln x
10 4 2,5 2,303
100 25 4 4,605
1.000 168 5,952 6,908
10.000 1.229 8,137 9,210
100.000 9.592 10,425 11,513
Ciertamente hay que tener intuición para ver que los resultados de las dos últimas columnas se aproximan a medida que x tiende a infinito, pero el genio de Gauss lo supo apreciar con tan sólo 14 años. Debieron pasar más de cien años para que la conjetura fuera demostrada por Jacques Hadamard y C. J. de la Vallee Poussin de forma independiente en 1896 usando resultados de la teoría de análisis de números que estaban fuera del alcance de Gauss.
 
 
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