La paradoja de Banach-Tarski

La paradoja de Banach-Tarski dice lo siguiente:

“Es posible partir una esfera maciza en ocho trozos disjuntos de forma que recomponiéndolos mediante movimientos rígidos obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original”.

Esta paradoja, más bien teorema, y su demostración fue presentado en 1.924 por los matemáticos Alfred Tarski y Stephan Banach. En 1.944 el número de piezas fue reducido a cinco por R.M.Robinson, y en la actualidad bastan cuatro.

¿Cómo? Leamos otra vez: “Dos esferas de las mismas dimensiones que la original”. No puede ser. Nuestra intuición nos indica que no se puede crear materia de la nada. Y no sólo la intuición, sino que las leyes físicas están de nuestro lado. Entonces, ¿dónde está la veracidad de este enunciado?

Para empezar, si las esferas son materiales, y no ideales, estamos ante una violación del principio de conservación de la materia. Por lo tanto estamos asumioendo una idealización de la esfera. La demostración se basa en los principios de la Teoría de la Medida, pues las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles, y por lo tanto no podemos apelar a la conservación de la medida, en este caso el volumen, por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto.

Más sencillo de entender es este vídeo de un grupo de estudiantes de matemáticas de la Universidad de Copenhague, que hacen su versión particular de la Paradoja de Banach-Tarski duplicando el volumen de una naranja hasta… Mejor verlo.

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