La sociabilidad de los números

Al igual que las personas, a veces hay números que muestran cierta afinidad. Por ejemplo, dos números a y b son números amigos si a es la suma de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a. Esta condición de “amistad numérica” hace que no haya muchos números que sean amigos.
Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:
Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si p = 3 ×2n-1– 1, q = 3 × 2n– 1, r = 9 × 22n-1– 1, donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2npq y2nr son un par de números amigos. Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056), pero no genera todos pues el par (6232, 6368) también es de números amigos.

Los números amigos fueron estudiados por muchos eminentes matemáticos, como Pierre de Fermat, René Descartes o Leonhard Euler. Hay que reseñar que estos grandes pensadores se saltaron el par  de números amigos (1.184,1.210) que fue descubierto por un niño italiano de 16 años llamado  Niccolò Paganini en 1866 (no confundir con Paganini músico).

En la Edad Media, existió la creencia de que si se daba de comer a dos personas (al mismo tiempo pero no en el mismo lugar) sendos alimentos con inscripciones 220 para uno y 284 para el otro, entonces se volvían amigos por arte de magia.

Si la “amistad” se extiende a un grupo de números, entonces surge el concepto de números sociables. Un conjunto de números sociables es una sucesión cíclica en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. El orden del conjunto de números sociables es el número de términos que hay en el ciclo.

He aquí un ejemplo con período 4:

  • La suma de los factores propios de 1264460 (22· 5 · 17 · 3719) es:
    1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860
  • La suma de los factores propios de 1547860 (22· 5 · 193 · 401) es:
    1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636
  • La suma de los factores propios de 1727636 (22· 521 · 829) es:
    1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184
  • La suma de los factores propios de 1305184 (25· 40787) es:
    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460

Si el periodo de la sucesión es 1, estamos hablando de un número perfecto, donde ese número es igual a la suma de sus divisores propios. Si el periodo de la sucesión es 2, tenemos a los números amigos.

El conjunto más sencillo de números sociables es 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264.

Son cuestiones abiertas las siguientes:

  • ¿Todos los enteros son, o bien sociables, o bien su sucesión alícuota acaba en un primo (y, como consecuencia, en 1)?
  • ¿Existe algún número cuya sucesión alícuota nunca acaba?

 

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