La tablilla Plimpton 322

El Teorema de Pitágoras no lo descubrió Pitágoras, siento defraudar, sino que se conocía 1500 años antes de que naciera. Desde que se descubrió la tablilla Plimpton 322 a principios del siglo XX se sabe que era conocida en tiempos de los babilonios (1800 a.C.). El nombre de la tablilla proviene del editor neoyorkino George Arthur Plimpton, que compró la tablilla al arqueólogo Edgar J. Banks en 1922, siendo donada a su muerte en 1936 a la Universidad de Columbia donde se encuentra depositada hoy en día. La tablilla proviene de Senkereh, un lugar en el sur del actual Irak, correspondiente a la antigua ciudad de Larsa.
 
 
La tablilla Plimpton 322 tienen unas dimensiones de 13 x 9 cm y un grosor de 2 cm, y está escrita con números cuneiformes en el sistema sexagesimal. Su transcripción a los números arábigos es la siguiente:
 

¿Qué significan todos estos números? Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,   47   6   41   40  ________  5   19  ______  8   1  _____   6

Puesto que están escritos en el sistema sexagesimal, debemos convertirlos al sistema decimal teniendo en cuenta que el primero es un 1 seguido de varios decimales. La conversión se realiza de la siguiente forma:

1 , 47  6  41   40 = 1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4 = 1,785192901

y de la misma forma con los siguientes números.

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

Resulta que 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y 319 uno de los catetos. El otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras valdría 360, pero eso no consta en la tablilla. Si hacemos el cociente entre la hipotenusa y este último cateto da 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901, ¡¡¡que coincide exactamente con el valor escrito en la tablilla hasta el noveno decimal!!!

Sorprende la exactitud de dichos cálculos y nos muestra lo avanzado de las matemáticas en la época babilónica. El primer número representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos. Pero, ¿por qué esta lista? ¿Qué significado tiene?

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números p,q , para hallar la terna pitagórica p2-q2, 2pq , p2+q2. Limitándose a valores de p menores que 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios descubrieron que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes. En la tablilla Plimpton 322 aparecen las 15 primeras, ordenadas por los valores correspondientes  a los ángulos desde 45o hasta 31o. Las restantes debían estar en otra u otras tablillas que no se han descubierto aún.

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