¿Cuánto mide la costa de una isla?

La geometría euclidiana no sirve para medir las formas irregulares. Sirve para medir objetos ideales, como un polígono o un círculo, pero no sirve a la hora de medir, por ejemplo, la superficie de una montaña o el perímetro de una isla. Todo depende de la escala de medida, en concreto cuanto menor es la escala (s), mayor es la longitud medida (L). Por ejemplo, si se aproxima la costa de Mallorca con una poligonal de lados de 28 km, se obtiene un perímetro de 362,2 km; si la poligonal se traza con lados de 14 km, el perímetro será de 416,7 km; con lados de 7 km, será de 467,7 km; y con lados de 3,5 km, el perímetro alcanzará los 524,8 km. ¿Qué relación existen entre L y s? Pues resulta que la expresión que las relaciona de forma más o menos fiel es la siguiente:

L= \frac{c}{s^d}

donde vale aproximadamente 0,17. Se trata de una constante que indica el grado de “rugosidad” de la costa o de la frontera en cuestión, una constante ya intuida por Richardson a principios del siglo XX.

Lewis Fry Richardson

Lewis Fry Richardson (1881 – 1953) fue un matemático, físico, meteorólogo y pacifista inglés, pionero en las modernas técnicas matemáticas de la predicción del tiempo atmosférico y en la aplicación de técnicas similares para el estudio de las causas de las guerras y el cómo prevenirlas. Richardson aplicó sus habilidades matemáticas en el servicio de sus principios pacifistas, en particular en el entendimiento de las raíces del conflicto internacional. Trabajó varios años coleccionando datos sobre fronteras con el fin de estudiar la relación entre la probabilidad de que dos países entre en guerra y la longitud de su frontera común. De forma colateral, en su estudio observó que los datos eran muy variables y, dependiendo de las fuentes, podían ofrecer una diferencia de un 20 %. Concluyó que todo dependía de la unidad de medida usada y dedujo la fórmula anteriomente mencionada.

Otros valores de la constante d son:

  • d=0,25 para la costa occidental de Gran Bretaña.
  • d=0,15 para la frontera de Alemania.
  • d=0,14 para la frontera de Portugal con España.
  • d=0,13 para la costa australiana.
  • d=0.02 para la costa de Sudáfrica.

Posteriomente, el matemático Benoît Mandelbrot publicó en Science en 1967 el artículo “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension“,  donde estudió la costa inglesa e interpretó el resultado de Richardson como que las costas y otros contornos geográficos tienen una propiedad de autosimilaridad estadística y el exponente d es la dimensión Hausdorff del borde. El artículo mostraba el pensamiento temprano de Mandelbrot sobre los fractales y es un ejemplo de la vinculación de las matemáticas con las formas naturales, tema de gran parte de su trabajo posterior.

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