Cartas al borde de una mesa

A veces un planteamiento sencillo de un problema esconde un resultado sorprendente. Por ejemplo, ¿cuánto pueden sobresalir unas cartas colocadas al borde de la mesa? La intuición nos dice que no puede ser mucho, que el equilibrio es muy precario y como mucho podrá sobresalir una longitud de, quizá una carta. Analicemos el problema:

 Una sola carta sobresaldrá la mitadde la misma:

Con dos cartas, para que estén en equilibrio, sobresaldrá 1/2 + 1/4 como es evidente en la siguiente figura:

Hasta ahora encontrar el punto de equilibrio, o sea, el centro de gravedad ha sido muy sencillo. Uno podría pensar que con tres cartas se obtendría el resultado 1/2 + 1/4 + 1/8, con lo cual la suma infinita de la serie geométrica daría 1. La visera tendría una longitud de una carta. Pero no va a ser así. ¿Dónde está el centro de gravedad con tres cartas? Resolviendo una sencilla ecuación se obtiene la serie 1/2 + 1/4 + 1/6

Ahora ya tenemos la clave para descifrar el problema. La serie que debemos sumar es:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...

que es la mitad de la serie armónica: la mitad de infinito es igual a, agárrense, INFINITO!!!

Hablando de nuestras cartas al borde de la mesa podemos ahora decir que la visera que podemos formar al borde de una mesa es INFINITA. Sorprendente, ¿no? Desgraciadamente la convergencia de la serie armónica es muy lenta y, por ejemplo, con 100 cartas la visera sobresale poco más de 5 cartas. Con paciencia puedes comprobarlo tú mismo.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s