Números polidivisibles

Se termina el año 2012, pero antes de que nos despidamos de él vamos a comentar una propiedad curiosa de este número. Resulta que 2012 es un número polidivisible.En matemáticas se define como número polidivisible a un número natural abcde… con las siguientes propiedades:

  • Su primer dígito a no es 0.
  • El número formado por sus dos primeros dígitos ab es múltiplo de 2.
  • El número formado por sus tres primeros dígitos abc es múltiplo de 3.
  • El número formado por sus cuatros primeros dígitos abcd es múltiplo de 4.
  • etcétera.
Efectivamente para 2012 tenemos que:
2 es divisible por 1
20 es divisible por 2
201 es divisible por 3
2012 es divisible por 4
La primera pregunta que surge es ¿cuántos números polidivisibles hay? ¿son infinitos y hay un número finito de ellos? Pues hay un total de 20.456 números polidivisibles, ni más ni menos, siendo el mayor 3608528850368400786036725, el cual tiene 25 dígitos. Y este es el último, todo debido a que las condiciones para que un número sea polidivisible son mayores a medida que aumentamos el número de dígitos.
 
Un problema relacionado es el siguiente:
Encontrar todos los números polidivisibles con los dígitos del 1 al 9 sin que se repitan.
Solo uno satisface esta condición: 381654729.  Veamos:
  • 3 no es 0
  • 38 es múltiplo de 2
  • 381 es múltiplo de 3
  • 3816 es múltiplo de 4
  • 38165 es múltiplo de 5
  • 381654 es múltiplo de 6
  • 3816547 es múltiplo de 7
  • 38165472 es múltiplo de 8
  • 381654729 es múltiplo de 9

2012

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