Empaquetamiento de esferas

Hagamos el siguiente experimento: extendamos un montón de monedas en una mesa e intentemos agruparlas de manera compacta. Veremos como cada moneda se hace rodear de otras seis, formando una retícula hexagonal. Carl Friedrich Gauss demostró que, en espacio euclideo de dos dimensiones, la disposición regular de círculos con mayor densidad es el empaquetamiento hexagonal en el que cada círculo está rodeado de otros seis. La densidad de este empaquetamiento es:

\frac{\pi}{\sqrt{12}} \simeq 0.9069

Ahora pasemos al campo tridimensional. Si volcamos naranjas en un contenedor no se produce un empaquetamiento regular como en el caso bidimensional, sino uno irregular, que no forma una disposición ordenada. Este empaquetamiento irregular tiene una densidad de aproximadamente el 64% de la densidad de las esferas.

monton2

Si procedemos a colocarlas una a una, de forma ordenada y con la mayor densidad posible, está claro que una vez colocadas tres naranjas, la cuarta será colocada en un segundo nivel en el hueco que dejan las tres naranjas de abajo. Monton

Ahora bien, al poner más naranjas en un tercer nivel tenemos dos opciones, el llamado empaquetamiento cúbico centrado en caras – alternancia ABCABC…- y empaquetamiento hexagonal – alternancia ABAB…-. El siguiente esquema nos ayudará a entenderlo:

Empaquetamientos

 En estas disposiciones cada esfera está rodeada por otras 12, y ambas disposiciones tienen una densidad media de

\frac{\pi}{\sqrt{18}} \simeq 0,74048.

La conjetura de Kepler es una conjetura formulada por el físico, matemático y astrónomo Johannes Kepler en 1611, que afirma que esta es la densidad máxima se alcanza con cualquier apilamiento de esferas. Porque ya sabemos que en matemáticas una cosa es formular un resultado (más o menos) obvio y otra cosa es demostrarlo.

Hales

Thomas Callister Hales

Hubo que esperar hasta 1998 para que el norteamericano Thomas Callister Hales (1958-) anunciara que había demostrado la conjetura de Kepler. La comprobación de Hales es una demostración por casos en la que se prueban agrupamientos mediante complejos cálculos de ordenador. Hales formuló una ecuación de 150 variables que recogía cinco mil posibles agrupamientos de esferas iguales. Para realizar la revisión de la demostración se seleccionaron doce matemáticos, pero al ser tan compleja comentaron que estaban seguros “al 99%”. Por tanto, la conjetura de Kepler está cerca de convertirse en un teorema, aunque está aún pendiente de una demostración más elegante.

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