La conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam, fue enunciada por el matemático Lothar Collatz (1910 – 1990) en 1937, y sigue constituyendo un problema abierto en Teoría de Números.

Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:

  • Si el número es par, se divide entre 2.
  • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

Formalmente, esto equivale a la función:

f(n) = \begin{cases} \tfrac{n}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

Ahora vamos a considerar la órbita de un número, es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, si n=13:

f(13)=40;  f(40)=20;  f(20)=10…

Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 se convierte en periódica, es

Lothar Collatz

Lothar Collatz

decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado:

13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,…

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos. Por ejemplo:

  • Comenzando en n = 6, uno llega a la siguiente sucesión: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Empezando en n = 11, la sucesión tarda un poco más en alcanzar el 1: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Este resultado sigue siendo una conjetura, porque no se tiene demostración alguna ni de su veracidad ni de su falsedad. Utilizando ordenadores se ha comprobado que para números hasta 258 la conjetura es cierta, y se han obtenido algunos resultados parciales, pero aún está pendiente la demostración rigurosa de dicho resultado.

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