La diagonal de Cantor

¿Se pueden enumerar todos los números del 0 al 1? Esto es, podemos asignar cada número natural a un número real del intervalo [0,1]?

Pues no, no se pueden poner todos los números reales del 0 al 1 en fila, pero hubo que esperar hasta el año 1891 para que Georg Cantor propusiera su método de la diagonal para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable. Su demostración no fue la primera, pero sí la más sencilla y elegante. La demostración se realiza por el método de reducción al absurdo:

  1. Se supone que el intervalo [0,1] es numerable.
  2. En ese caso se podría elaborar una sucesión de números que llamaremos  r1, r2, r3,…
  3. Se colocan los números en una sucesión (no necesariamente en orden).

La sucesión podría ser, por ejemplo, ésta:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5…

En dicha sucesión estarían todos los números reales entre 0 y 1. Ahora bien, vamos a encontrar un número que no va a estar en esta sucesión, por lo que encontraremos una contradicción. Para eso usamos los números de la siguiente diagonal:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0…
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3…
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6…
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6…
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6…
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8…
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5

Y ahora construyo el número que se obtiene sumando uno a cada dígito, y, en el caso de que éste fuera nueve, se pondrá un cero. El número 0.6251346….  así obtenido es claramente un real. Pero, ¿en qué lugar se encuentra este número en la lista? Si estuviera en el n-ésimo lugar de la lista, no sería cierto, ya que su n-ésimo dígito es, por definición, distinto (es uno más). Conclusión: existe una contradicción, que nace de la premisa de suponer que esta sucesión es numerable.

Una demostración, sin duda, sencilla e inteligente, propia de un genio como Cantor.

Georg Cantor (1845 – 1918)

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