La constante de Foias

La “caza” de constantes ha sido una constante en la historia de las matemáticas. Tienen ese halo de misterio que ofrece ser un número único y particular, otorgando la recompensa de añadir el nombre del autor a la posteridad de las matemáticas. Algunas de estas constantes aparecen después de forma sorprendente en otros problemas, o aparecen relacionadas con otras constantes, lo cual les añade un plus de enigma. Eso le ocurre a la constante de Foias.

En una publicación rumana llamada Gazeta Matematică de la década de los 70 se planteó la siguiente cuestión:

Se considera un número inicial y la secuencia

donde n = 1, 2, 3…  Encontrar el valor al que converge la secuencia.

Se trata de una secuencia que recuerda la del número e, ¿no? Pues bien, para todos los valores iniciales la secuencia converge a 1. ¿Para todos? Pues no, existe un valor inicial para el que la secuencia no tiende a 1, sino a infinito.

Ciprian_Foias

Ciprian Ilie Foias

El problema fue resuelto por Ciprian Foias, profesor de la Universidad de Bucarest, obteniendo un resultado sorprendente: se trata del número 1,187452351126501… (Sloane A085848), una constante que no es raíz de ninguna función, ni es una combinación de otras constantes. Desde entonces se conoce como constante de Foias.

Sin embargo la secuencia se puede enlazar con otras funciones elementales de la siguiente forma:

 lim_(n->infty)x_n(lnn)/n=1,

que se puede reescribir como

 lim_(n->infty)(x_n)/(pi(n))=1,

donde π (n) es la función de conteo primo. ¿Casualidad? Ewing y Foias (2000) creen que esta conexión con el teorema de los números primos es fortuita.

Lo que sí es fortuito es el problema que derivó en la constante de Foias, porque en realidad se trataba de una errata en el enunciado del problema. El enunciado real buscaba la convergencia de la secuencia x_(n+1)=(1+1/x_n)^(x_n).

Este problema se resuelve encontrando la raíz de la ecuación

 x=(1+1/x)^x ,

que es 2,293166628…  independientemente del valor inicial.

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