Un torneo medieval

Liber Abaci

Liber Abaci

Las principales obras de Leonardo de Pisa (1175 – 1250), más conocido como Fibonacci, son el Liber Abaci y Liber Quadratorum, donde destacan numerosas contribuciones a las matemáticas como la introducción en Occidente del sistema de numeración decimal que usamos hoy en día.  En esta última obra comenta el torneo que tuvo lugar en la corte de Federico II de Sicilia, en el que Fibonacci se enfrentó a Juan de Palermo y al cual derrotó. No se trataba de ningún torneo con caballos, escudos y lanzas, sino de un torneo intelectual para medir la capacidad de resolver problemas matemáticos en el menor tiempo posible. Cada participante proponía un problema a su adversario, que debía saber resolverlo. De este torneo Fibonacci comenta tres problemas en su Liber Quadratorum.  El primero tiene el siguiente enunciado:

 
Encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé también cuadrado.
 
Su resolución es todo un ejemplo de elegancia y desenvoltura para manejarse con expresiones algebraicas.
Escrito en nuestra notación actual, Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci): 
(m2+n2)2 ± 4mn(m2-n2) = (m2-n2±2mn)2
Si encontráramos dos números enteros m y n tales que 4mn(m2-n2)=5 el problema estaría resuelto, pero esto no es posible ( un número par no puede ser igual a uno impar), de modo que la solución debe ser un número racional. Dividimos ambos miembros de la igualdad por p2 y resulta:
 
ecuación 
 
Como 4mn(m2-n2)=5p2, necesariamente p2 debe ser múltiplo de 4, por lo que p=2q. La identidad se transforma entonces en mn(m2-n2)=5q2. Ahora Fibonacci observa que uno de los factores del primer miembro ha de ser múltiplo de 5. Pongamos que m=5, entonces simplificando queda n(25-n2)=q2. El primer valor que hace que n(25-n2 sea un cuadrado es n=4. Para ese valor de n tenemos que q=6 y p=12y el número buscado es el siguiente:
 
ecuación
 
que, efectivamente, cumple las condiciones iniciales.
 
En el segundo problema se trata de hallar un número x para el cual x3+2x2+10x=20. Leonardo demostró que la solución no puede ser racional y después encontró una solución aproximada, que en notación actual sería x=1.368807874148, y que fue la mejor aproximación de una raíz irracional conseguida hasta el momento.
 
El tercer problema es la historia de tres hombres se reparten al azar un capital. A continuación, el primero aporta a un fondo común la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte?
 
Leonardo toma como incógnita auxiliar u una de las tres partes en que se ha dividido el fondo formado por las fracciones de las partes tomadas al azar. Si éstas son x, y y z, y el capital total es c, tenemos las ecuaciones:
 
igualdades
 
La solución entera más pequeña es u=7, c=47, x=33, y=13 y z=1.
Y para ilustrar a Fibonacci nada mejor que una versión artística de su conocida espiral:
 
Espiral fibonacci
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