Teorema de la pizza

Imaginemos que dos personas van a comer una pizza. Para cortarla en ocho trozos, lo normal es que dichos cortes pasen por el centro y estén igualmente repartidos, lo que significa que están formando un ángulo de 45º entre cada dos de ellos. Pero ha habido un problema y es que han cortado la pizza formando un ángulo de 45º entre cada dos cortes consecutivos, pero sin que los cortes pasen por el centro. El esquema (exagerado un poquito) es el siguiente:

pizza

El problema ahora es si es posible repartir la pizza, sin realizar más cortes, de forma que cada una de las dos personas coma lo mismo.

Observando la imagen no da la impresión de que sea posible repartir los trozos de manera equitativa, puesto que cada trozo tiene una superficie diferente; sin embargo, el conocido como Teorema de la pizza nos dice que sí es posible y además establece cómo hacerlo.

Teorema de la pizza: Si una pizza es dividida en ocho trozos, obtenidos mediante cuatro cortes que pasan por un punto común y forman un ángulo de 45º entre ellos, entonces la suma de las áreas de los trozos alternos son iguales.

Esta cuestión fue originalmente propuesta por el matemático L. J. Upton en 1967 y resuelta por Michael Goldberg. Posteriormente, Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen. En el esquema siguiente se muestra:

pizza2

Se puede generalizar el resultado y preguntarse por diferente número de cortes. La generalización del Teorema de la pizza se conoce como el Teorema de la pizza de queso y fue dada por fue dada por R. Mabry y P. Deiermann en 2009.

Teorema de la pizza de queso: Si O es el centro de la pizza, esta se divide en n cortes a la “manera usual”, generando 2n trozos de pizza que se dividirán en dos familias de n trozos, grises y blancos, alternando uno de cada familia. Entonces,

i) si n > 2 es par o el centro O está en uno de los cortes, la superficie total de las zonas grises y de las zonas blancas es la misma,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡3 (mod.4), es decir, n es de la forma 4r+3, entonces la superficie de las zonas grises es mayor que la de las blancas,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡1 (mod.4), es decir, n es de la forma 4s+1, entonces la superficie de las zonas grises es menor que la de las blancas.

Y para finalizar una pequeña broma. Si P es una pizza de radio z y grosor a, entonces su volumen viene dado por la fórmula…

pizza

¿Cómo? Sólo tienes que aplicar la fórmula del volumen del cilindro

V = π r h

sustituyendo r por z y h por a.

Ahora sí, ¿no? Pues a sonreir.

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

Anuncios

4 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. Trackback: Cómo cortar una pizza en trozos equivalentes cuando alguien odia los bordes - Puebla de Hoy |Noticias de Hoy
  2. Trackback: Cómo cortar una pizza en trozos equivalentes cuando alguien odia los bordes | TOLOMEO
  3. Trackback: Estamos de vuelta | masterindtecnun
  4. Trackback: De vuelta! | masterprotecnun

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s