El teorema de Banach-Tarski

“Es posible dividir una esfera en cinco partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos, obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original”.

Banach-Tarski_Paradox

En otras palabras, con una esfera es posible fabricar un puzzle de cinco piezas que, combinadas de una determinada manera, formen dos esferas del mismo radio. Pues uno lee este enunciado y se queda de piedra. De uno sacamos dos. Parece un engaño porque choca con toda lógica y atendiendo al principio de conservación de la materia parece contradictorio que de una esfera de volumen 1 (pongamos) se consigan dos esferas de volumen 1 cada una. ¿Dónde está el truco?

Este enunciado y su demostración fue presentado en 1.924 por los matemáticos Alfred Tarski y Stephan Banach. Se basa en las propiedades de los giros del espacio y el famoso (y controvertido) axioma de elección de Zermelo. La clave de la demostración está en que los trozos en que dividimos la esfera no son medibles, y no medible no quiere decir que midan cero, sino que no se le puede asignar ningún valor a la medida.

Para hacernos una idea, esta es una prueba que es similar a la dada por Banach y Tarski.

Cayley_backward

Un grupo de estudiantes de matemáticas de la Universidad de Copenhague realizaron un divertido vídeo con motivo de dicha paradoja. Ellos partieron de una naranja y llegaron a… Sólo tenéis que verlo.

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