Teorema de la bola peluda

Si n\  es un entero par al menos igual a 2\ , todo campo vectorial continuo X\  sobre la esfera real S_n\  se anula en un punto al menos; es decir que existe v\  (que depende de X\ ) tal que: X(v)=0\ .

En Matemáticas, y más precisamente en Topología Diferencial, el Teorema de la Bola Peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Por lo tanto, el teorema afirma que la función que asocia un vector a cada punto de la esfera se anula en al menos un punto (en la figura son dos los puntos, situados en los polos). Este resultado fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.

250px-Hairy_ball

En meteorología se considera una modelización del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con componentes vectoriales bidimensionales, esto es, considerando nulo su movimiento a lo largo del eje vertical. Bajo estas condiciones, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento. En un sentido físico, esta zona de no-viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón.

ciclon

Una de las consecuencias del Teorema de la Bola Peluda es el Teorema del punto fijo de Brouwer, que asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo a valores en K, admite un punto fijo, esto es, donde f(x)=x. El origen del teorema provendría de la observación de una taza de café por Brouwer. Cuando revolvemos el azúcar, parece siempre haber un punto inmóvil; de ahí deduce que: «En todo momento, hay un punto de la superficie que no habrá cambiado de lugar». El punto fijo no es necesariamente aquél que parece inmóvil pues el centro del remolino se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, pues el punto fijo inicial podrá haber cambiado, pero otro punto fijo aparecerá.

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1 comentario (+¿añadir los tuyos?)

  1. Stefanny
    Nov 27, 2013 @ 04:05:05

    Que hermosa es nuestra matemática… gracias por ese post😉

    Responder

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