Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x2 + y2 = r2, la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

m^2+n^2\leq r^2.

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

GausssCircleProblem_650

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr2 y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/rse acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

GausssCirclePi_1000

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(ren la fórmula

N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

Gauss logró ya demostrar que 

E(r)\leq 2\sqrt{2}\pi r.

y escribiendo |E(r)| ≤ Crt, los actuales límites en t son

\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

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1 comentario (+¿añadir los tuyos?)

  1. pepe
    Ene 09, 2014 @ 17:06:45

    el problema a simple vista parece sencillo, es decir yo empiezo a sumar y+ n + r + e+ x + m , a lo que me sale le quito el pi, es decir los años que tengo y entonces es cuando la mente empieza a nublarseme y la vista ha ver puntos . ahora es cuando tengo un problema añadido como leche cuento yo la infinidad de puntos que estoy viendo

    Responder

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