Los números metálicos

El número de oro es ampliamente conocido desde la época de Euclides por sus aplicaciones al mundo del arte o la arquitectura, sin embargo pocos conocen la existencia de otros números metálicos”, como el número de plata o el de bronce. Vayamos por orden:
Número de oro
A un rectángulo le quitamos un cuadrado y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación  x/1 = 1/(x-1), cuya solución positiva, (1+5^(1/2))/2, se denomina número de oro, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.
Número de plata
A un rectángulo le quitamos dos cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-2), cuya solución positiva, 1+2^(1/2), se denomina número de plata, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.

Número de bronce

A un rectángulo le quitamos tres cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-3), cuya solución positiva, (3+13^(1/2))/2, se denomina número de bronceque es la razón entre los lados del rectángulo inicial. 

numeros metalicos

Algebraicamente, el número de oro es la raíz positiva de la ecuación x2-x-1=0. Generalizando, podemos plantear la ecuación x2-mx-1=0, donde m es un número natural. Las raíces positivas de estas ecuaciones son los números metálicos:

    • Si m=1, obtenemos el número de oro.
    • Si m=2, obtenemos 1+√2, el número de plata.
    • Si m=3, obtenemos (3+√13)/2, el número de bronce.
    • En general, se obtiene la expresión (m+√m2+4)/2 genera todos los números metálicos.

La relación de los números metálicos con las fracciones continuas es muy interesante. El número de oro expresado como fracción continua se escribe de la siguiente forma:

numero de oro fraccion continua

El número de plata:

plata

Y, en general, cualquier número metálico tiene la forma:

metalicos

Los números metálicos están íntimamente relacionados con la Sucesión de Fibonacci. Recordemos que la sucesión de Fibonacci es la construida según el siguiente criterio:

F(n+2) = F(n) + F(n +1)

Pues bien, el límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos F(n) / F(n – 1) es, precisamente, el número de oro.

Generalizando el anterior resultado se denomina Sucesión de Fibonacci Generalizada a la formada según la recurrencia  F(n+2) = p * F(n) + q * F(n +1) , cuyos límites entre las razones de dos términos consecutivos tienden a los correspondientes “números metálicos”.

Valor aproximado de los Números Metálicos 

Nombre p q Valor
Oro 1 1 1,618033989…
Plata 2 1 2,414213562…
Bronce 3 1 3,302775638…
Cobre 1 2 2.000000000…
Níquel 1 3 2,302775638…
Platino 2 2 2,732050808…

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1 comentario (+¿añadir los tuyos?)

  1. Franco Biasin (@francoKazan)
    Mar 04, 2014 @ 19:28:24

    Genial! Ahora entiendo la interpretación geométrica de esos números tan raros. Cabe destacar que la ecuación más generalizada sería x^2-px-q=0, no? Saludos !

    Responder

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