El problema de Kakeya

A veces el espacio que tenemos para darle media vuelta a un coche es mínimo. Ahora bien, ¿cuál es el menor espacio necesario para hacer el giro? Y si abstraemos el problema y reducimos el coche a un segmento unitario, ¿cuál es el conjunto “más pequeño” del plano en el que se puede realizar ese giro? También podemos extrapolar el problema a tres dimensiones.

Conocido como el problema de Kakeya o de Besicovitch (en honor a los matemáticos japonés y ruso que lo estudiaron), las respuestas a estas cuestiones son un objeto del deseo del Análisis Matemático contemporáneo. Se denomina conjunto de Kakeya, o conjunto Besicovitch, a cualquier conjunto de puntos en el espacio euclídeo, que contiene un segmento unitario de línea en todas las direcciones. Mientras que muchos tipos de objetos satisfacen esta propiedad, varios resultados y preguntas interesantes son motivadas al intentar responder a la medida mínimo de dichos conjuntos.

En primer lugar, podemos pensar que el área necesaria para girar la aguja es un círculo con el centro en el punto medio de la aguja. Esta es la primera solución que nos viene a la cabeza.  Luego, podemos pensar en un triángulo de Reuleux. Una aguja que se mueva en su interior también gira ahí completamente y la superficie es más pequeña. Una profundización mayor nos llevaría a la superficie conocida como “deltoide” que también permite el giro de la aguja y cuya superficie (en relación con la aguja) parece pequeñísima. Es la representada en la siguiente figura:

Kakeya_needle
Durante mucho tiempo se pensó que esta deltoide era la solución del problema de Kakeya, pero en 1919, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que en realidad el área necesaria se podía hacer arbitrariamente pequeña. Ideó una solución muy sutil a base de desplazamientos longitudinales de la aguja y una sucesión casi interminable de giros de la misma. Besicovitch demostró que la solución podría tener medida nula.

 

 

Anuncios

2 comentarios (+¿añadir los tuyos?)

  1. vans valdosta
    Ago 29, 2014 @ 02:21:16

    Amazing! Its in fact amazing paragraph, I have got much clear idea concerning from this article.

    Responder

  2. Trackback: Sooluciones Desfío 164 | Club Pitagóricos

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s