Números felices

Los números, al igual que las personas, pueden ser felices o infelices. Sin embargo, la felicidad de un número es mucho más sencilla. ¿Cómo distinguir si un número es feliz? Muy fácil: se suman los cuadrados de sus dígitos y se repite el proceso cuantas veces sea necesario; si en algún momento obtenemos un 1, hemos terminado y el número original es feliz. En caso de entrar en un ciclo, el número original es infeliz.

Por ejemplo, 82 es un número feliz ya que:

8^2+2^2=68

6^2+8^2=100

1^2+0^2+0^2=1

En cambio, 89 es un número infeliz:

8^2+9^2=145

1^2+4^2+5^2=42

4^2+2^2=20

2^2+0^2=4

4^2=16

1^2+6^2=37

3^2+7^2=58

5^2+8^2=89

y entramos en bucle al volver a obtener 89.

Los primeros números felices hasta el 100 son el 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100. Aunque parecen abundantes, en realidad los números felices son cada vez más infrecuentes a medida que aumenta el número de cifras. Así hay un 22,22% de una cifra, 18,89% de dos cifras, 13,67% de tres cifras, etc. Pese a ser cada vez más escasos a medida que aumentamos el número de dígitos siempre se podrá encontrar un número feliz, lo cual es reconfortante: todos los números de la forma 10^k lo son.

Existen series de números consecutivos de números felices tan largas como se quiera. El primer par de números felices consecutivos son el 31 y el 32. El primer trío es el 1880, 1881 y 1882. Y cada vez hay que irse más lejos para encontrar cadenas de números felices consecutivos. Por ejemplo para encontrar una cadena de 9 números felices consecutivos debemos recurrir a números de 215 cifras.

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