Un torneo medieval

Liber Abaci

Liber Abaci

Las principales obras de Leonardo de Pisa (1175 – 1250), más conocido como Fibonacci, son el Liber Abaci y Liber Quadratorum, donde destacan numerosas contribuciones a las matemáticas como la introducción en Occidente del sistema de numeración decimal que usamos hoy en día.  En esta última obra comenta el torneo que tuvo lugar en la corte de Federico II de Sicilia, en el que Fibonacci se enfrentó a Juan de Palermo y al cual derrotó. No se trataba de ningún torneo con caballos, escudos y lanzas, sino de un torneo intelectual para medir la capacidad de resolver problemas matemáticos en el menor tiempo posible. Cada participante proponía un problema a su adversario, que debía saber resolverlo. De este torneo Fibonacci comenta tres problemas en su Liber Quadratorum.  El primero tiene el siguiente enunciado:

 
Encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé también cuadrado.
 
Su resolución es todo un ejemplo de elegancia y desenvoltura para manejarse con expresiones algebraicas.
Escrito en nuestra notación actual, Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci): 
(m2+n2)2 ± 4mn(m2-n2) = (m2-n2±2mn)2
Si encontráramos dos números enteros m y n tales que 4mn(m2-n2)=5 el problema estaría resuelto, pero esto no es posible ( un número par no puede ser igual a uno impar), de modo que la solución debe ser un número racional. Dividimos ambos miembros de la igualdad por p2 y resulta:
 
ecuación 
 
Como 4mn(m2-n2)=5p2, necesariamente p2 debe ser múltiplo de 4, por lo que p=2q. La identidad se transforma entonces en mn(m2-n2)=5q2. Ahora Fibonacci observa que uno de los factores del primer miembro ha de ser múltiplo de 5. Pongamos que m=5, entonces simplificando queda n(25-n2)=q2. El primer valor que hace que n(25-n2 sea un cuadrado es n=4. Para ese valor de n tenemos que q=6 y p=12y el número buscado es el siguiente:
 
ecuación
 
que, efectivamente, cumple las condiciones iniciales.
 
En el segundo problema se trata de hallar un número x para el cual x3+2x2+10x=20. Leonardo demostró que la solución no puede ser racional y después encontró una solución aproximada, que en notación actual sería x=1.368807874148, y que fue la mejor aproximación de una raíz irracional conseguida hasta el momento.
 
El tercer problema es la historia de tres hombres se reparten al azar un capital. A continuación, el primero aporta a un fondo común la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte?
 
Leonardo toma como incógnita auxiliar u una de las tres partes en que se ha dividido el fondo formado por las fracciones de las partes tomadas al azar. Si éstas son x, y y z, y el capital total es c, tenemos las ecuaciones:
 
igualdades
 
La solución entera más pequeña es u=7, c=47, x=33, y=13 y z=1.
Y para ilustrar a Fibonacci nada mejor que una versión artística de su conocida espiral:
 
Espiral fibonacci
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Igualdades desiguales

Que 2 = 1 es por todos conocido y existen muchas demostraciones de ello. He aquí una:

1) Tomamos una igualdad cualquiera que sea cierta, por ejemplo:

2.3 = 6

2) Pasamos el 6 al otro lado de la igualdad:

2.3 – 6 = 0

3) Ahora a 2.3 lo llamo x y a 6 lo llamo y. Entonces queda: 

x – y = 0

4) Ahora multiplicamos los dos miembros por 2:

2x – 2y = 0

5) Como x – y = 2.3 – 6 = 0, entonces sustituyo x – y por 0: 

2x – 2y = x – y

6) Ahora sacamos factor común en los dos miembros:

2(x-y) = 1(x-y)

7) De donde, simplificando, se deduce que

2 = 1

También existen demostraciones de que 0 = 1, por ejemplo ésta:

0 = 0 + 0 + 0 +…
  = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +…
  = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +… (ley asociativa)
  = 1 + 0 + 0 + 0 +…
  = 1

Pero lo que poca gente conoce es que 7 x 13 = 28. Aquí os dejo la demostración dada por los norteamericanos Abbott y Costello en 1941. Espero que os guste y os resulte fácil de entender.

Y hoy un problemita de probabilidad: Se tiene dos dados. En las caras de uno de ellos aparecen los números 2, 4, 8, 16, 32 y 64, mientras que en las caras del otro aparecen los números del 1 al 6. Tiramos los dados y multipliquicamos los dos números que obtengamos. ¿Cuál es la probabilidad de que esta multiplicación sea un cuadrado perfecto?

Évariste Galois y las ecuaciones polinómicas

Es por todos conocidas  y, de hecho, es una de las fórmulas matemáticas que permanece en la memoria para toda la vida aunque uno se desvincule de las matemáticas para siempre, las soluciones de la ecuación de segundo grado  ax2 + bx + c = 0

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

Ahora bien, ya no son tan conocidas las soluciones de la ecuación de tercer grado  ax3 + bx2 + cx + d = 0, cuyas fórmulas son bastante grandes (pinchar aquí para verlas, no asustarse) y sólo se estudian en cursos avanzados de matemáticas.

Si nos vamos a la ecuación de cuarto grado ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , la complejidad aumenta considerablemente (ver aquí las soluciones).

Como vemos en estas enrevesadas fórmulas, todas se basan en que hay que aplicar únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces con los coeficientes de la ecuación. El éxito obtenido con estas ecuaciones de hasta cuarto grado parece augurar que todas las ecuaciones van a tener soluciones reales, complicadas eso sí, pero soluciones. Pues no. El teorema de Abel o teorema de Abel-Ruffini postula que no puede resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco. Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

 

Évariste Galois

a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0,

con n superior o igual a cinco. 

El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando sólo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces con los coeficientes de la ecuación. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por Évariste Galois, del que ahora se ha cumplido el segundo centenario de su nacimiento el 25 de octubre de 1811, un matemático francés que en su corta vida (21 años) se reveló como un gran genio, haciendo aportaciones de primer orden como ésta.

Problema de la semana:

Se acerca un bonito día, el 11 del 11 del 2011, así que el problema de esta semana va con estos números.

¿Cuáles son las dos últimas cifras de 11^2011 (11 elevado a 2011)? Bueno, la última está claro, es 1. ¿Y la segunda?

Ánimo.

El curioso origen de la incógnita x

Las series de televisión también utilizan la x

El símbolo por antonomasia de cualquier incógnita es la X. Incluso trasciende el ámbito de las matemáticas y se utiliza en la literatura, el cine, la publicidad… Pero esta letra no fue elegida al azar, sino que tiene una razón. La X nace hace 3000 años de la palabra árabe shei para representar una cantidad numérica no conocida. Los escritores griegos que traducían textos matemáticos árabes, por una cuestión de simplicidad, la tradujeron como xei, mucho más fácil de leer en el alfabeto helénico. Con el tiempo xei se fue acortando hasta convertirse en X. Es así que hoy en día, en matemáticas y muchos otros lados, utilizamos la X para representar una incógnita.

Y hablando de incógnitas, uno de los grandes enigmas en todas las aulas es adivinar la edad del profesor. En 1990 mi edad era la suma de las cifras de mi año de nacimiento. ¿Puedes adivinar mi edad?