Las matemáticas pueden salvarte la vida

George Gamow fue  un físico, astrónomo y escritor de divulgación científica estadounidense nacido en Odesa , Ucrania. En su autobiografía “Mi línea del mundo” (1970) aparece la siguiente anécdota sobre cómo las matemáticas fueron clave para salvar la vida de un amigo suyo.

He aquí una historia de uno de mis amigos que en 1919 era un joven profesor de física en Odesa. Su nombre era Igor Tamm (Premio Nobel de Física1958). En algún momento de 1919, después de llegar a un pueblo cercano, mientras Odesa fue ocupada por los rojos, Tamm estaba negociando con un aldeano cuántos pollos podía conseguir por una docena de cucharas de plata. Fue capturado entonces por una de las bandas de Makhno que estaban vagando por el país, hostigando a los rojos. Al ver sus ropas de ciudad, sus captores lo llevaron al Ataman, un barbudo con un gorro de piel negro y alto, con el pecho cruzado por cintas de cartuchos de ametralladora y un par de granadas de mano colgando de su cinturón.
“Usted es un agitador comunista que está minando nuestra madre Ucrania! El castigo es la muerte! ”
“No, no”, respondió Tamm. “Yo no soy más que un profesor de la Universidad de Odesa , y he venido aquí a comprar algo de comida.”
“Basura”, dijo el Ataman . “¿Qué tipo de profesor es usted?”
“Enseño matemáticas”, respondió mansamente Tamm.
“¿Matemáticas?”, se burló el Ataman. “Entonces usted debe ser capaz de dar una estimación del error que se comete al truncar una serie de McLaurin en el n-ésimo término. Si usted no puede contestar, le dispararé.”
Tamm se quedó sin aliento al oír esta pregunta de matemáticas superiores salir de la boca del líder guerrero. Con mano temblorosa, y bajo el cañón del arma de fuego, Tamm fue capaz de presentar una respuesta al Ataman.
“Correcto”, bramó el Ataman. “Dejadlo en libertad.”

Este relato está especialmente indicado a cualquier profesor que ha enseñado matemáticas y ha tenido que responder a esa pregunta tan recurrente en las aulas: “¿Para qué sirve esto?”. Una buena respuesta podría ser que podría salvar tu vida.

gamow

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Números de Dudeney

Dudeney

Henry Ernest Dudeney

Henry Ernest Dudeney (1857-1930), nació en Mayfield, al sur de Inglaterra. Fue el más genial creador inglés de problemas de ingenio y matemáticas, aunque lo más sorprendente es que jamás realizó estudios formales de matemáticas. Dice Martin Gardner: “En lo que respecta a problemas matemáticos, la cantidad y calidad que Dudeney produjo supera a lo aportado por cualquier otro creador, anterior o posterior, dentro y fuera de Inglaterra”.

Dudeney aprendió a jugar al ajedrez a temprana edad, y continuó jugando con frecuencia a lo largo de su vida. Esto condujo
a un marcado interés por las matemáticas y la composición de los rompecabezas. A los 9 años ya estaba componiendo problemas para un periódico local.

Dudeney ha pasado a la posteridad por dar nombre a una serie de números. Un número de Dudeney es un entero que es un cubo perfecto, de forma que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número.

Por ejemplo:
   1 =  1 x  1 x  1   ;   1 = 1
  512 =  8 x  8 x  8   ;   8 = 5 + 1 + 2
 4913 = 17 x 17 x 17   ;  17 = 4 + 9 + 1 + 3
 5832 = 18 x 18 x 18   ;  18 = 5 + 8 + 3 + 2
17576 = 26 x 26 x 26   ;  26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19683 = 27 x 27 x 27   ;  27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3
Y aquí acaba la lista, porque no hay ningún número más de Dudeney. Se puede demostrar que 19683 es el más grande de dichos números.

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Gauss y la distribución de los números primos (II)

En los libros de historia de las matemáticas consta que el Teorema de los Números Primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, pero, seis años antes y de forma independiente, un adolescente Gauss ya supo apreciar un orden en el aparente caos de la distribución de los números primos. Con tan sólo 14 años Gauss escribió una nota donde indicaba el patrón con el que aparecen los números primos. Para ello revisó las tablas de números primos hechas por Johanes Heinrich Lambert y George Von Vega, que llegaban hasta el número 400.000, y las cotejó con las tablas de logaritmos llegando a la conclusión de que para números grandes de x se cumplía:   donde p(x) representa el número de primos menores o iguales que x.

¿Cómo encontró Gauss esta relación?

Si calculamos p(x) aparentemente no se encuentra ningún orden, pero la cuestión empieza a cambiar cuando se calcula p(x) para las diferentes potencias de 10.

x p(x) x / p(x)
10 4 2,5
100 25 4
1.000 168 5,952
10.000 1.229 8,137
100.000 9.592 10,425

Parece que el cociente se estabiliza aumentando de 2 en 2 por cada aumento de la potencia de 10, lo cual sugiere una relación con el logaritmo de x. Y efectivamente, si añadimos la columna de ln x:

x p(x) x / p(x) ln x
10 4 2,5 2,303
100 25 4 4,605
1.000 168 5,952 6,908
10.000 1.229 8,137 9,210
100.000 9.592 10,425 11,513
Ciertamente hay que tener intuición para ver que los resultados de las dos últimas columnas se aproximan a medida que x tiende a infinito, pero el genio de Gauss lo supo apreciar con tan sólo 14 años. Debieron pasar más de cien años para que la conjetura fuera demostrada por Jacques Hadamard y C. J. de la Vallee Poussin de forma independiente en 1896 usando resultados de la teoría de análisis de números que estaban fuera del alcance de Gauss.
 
 
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Gauss y la distribución de los números primos (I)

A título póstumo el rey Jorge V de Hannover acuñó una moneda para honrar a Carl Friedrich Gauss con el título de Príncipe de los Matemáticos. Y no es exagerado porque Gauss ocupa los primeros puestos entre los grandes genios de las matemáticas, elevando las matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas.

El joven Gauss

A diferencia de otros matemáticos, la mayoría provenientes de familias adineradas, Gauss nació en una familia muy pobre de Brunswick (Alemania) el 4 de mayo de 1777. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss dio muestras tempranas de su genio precoz, mostrando un talento especial para los números y para el lenguaje. En 1787, a los diez años de edad, se cuenta la famosa anécdota de que en la clase de aritmética, su profesor Büttner propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales. El maestro en realidad quería unos minutos de tranquilidad, pero Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se» (‘ya está’): ¡los cien primeros números naturales suman 5.050! Gauss se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante: 1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =… = 101. Por lo tanto, sólo debía multiplicar 101· 50 = 5050. Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética.

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})  n}{2}

Antigua escuela de Brunswick

Büttner tenía de ayudante un joven estudiante de 17 años, Martin Bartels, que se encargaba de las clases de escritura de los más pequeños. Pero, por suerte para Gauss y para la ciencia, Bartels era una amante de las matemáticas. A pesar de la diferencia de edad,  juntos se apoyaban y se ayudaban para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis.

Gauss tenía 14 años cuando conoció al duque de Brunswick. Este quedó fascinado por lo que había oído del muchacho, por lo que decidió hacerse cargo de todos los gastos de Gauss para asegurar que su educación llegara a buen fin. Ingresó en el Collegium Carolinum para continuar sus estudios, y lo que sorprendió a todos fue su facilidad para las lenguas. Aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. Entre sus lecturas de matemáticas de esta época están los Principia Mathematica de Newton, el Ars Conjectandi de Jackob Bernoulli y algunas de las memorias de Euler. Allí iniciará alguna de sus futuras investigaciones matemáticas, como la distribución de los números primos, uno de sus highlights de su vida al que dedicaremos la siguiente entrada.

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Sir Francis Galton y la recta de regresión

Sir Francis Galton (16 de febrero de 1822 – 17 de enero de 1911) era primo del famoso naturalista Darwin y fue polímata, antropólogo, geógrafo, explorador, inventor, meteorólogo y psicólogo, aunque nos vamos a interesar por otra faceta suya: la de estadístico. En 1884

Sir Francis Galton

inauguró en Londres la Exhibición Internacional sobre Salud (International Health Exhibition), un laboratorio que le permitió recoger una inmensa cantidad de datos. Entre ellos se interesó especialmente de la siguiente distribución bidimensional: estatura media de un matrimonio – estatura media de sus hijos adultos. Para su estudio introdujo el concepto de correlación y observó que esas dos variables tenían una correlación fuerte: cuanto mayor es la primera, mayor es la segunda. Es decir, cuanto más altos son los padres, más altos tienden a ser los hijos. Hasta aquí parece un resultado muy obvio, pero también observó lo siguiente: que a padres de estatura muy elevada corresponden hijos altos, pero no tanto como sus progenitores. Y del mismo modo, a padres muy bajos corresponden hijos no tan bajos. Es decir, parece que la estatura de los hijos se aproxima a los valores medios de la población. Según Galton, la estatura de los hijos regresa hacia la media de la población, de ahí el término regresión que, desde entonces, se utiliza para designar cualquier relación estadística y a la recta (recta de regresión) que más se ajusta a una distribución dada. 

Las matemáticas, como cualquier otra ciencia, puede servir para el desarrollo de la humanidad o para objetivos perversos. En este sentido Galton pensó en aplicar  la selección artificial al ser humano para mejorar la raza, formalizándose así, por primera vez, la teoría de la eugenesia. Éstas y otras teorías similares sirvieron de base a los ideales de superioridad de raza, como los del nazismo alemán, pero también tuvieron gran aceptación en el resto de Europa y en los Estados Unidos. La práctica de la eugenesia se reflejó posteriormente en la limpieza étnica, así como en la esterilización de personas con discapacidad intelectual, delincuentes, pobres o enfermos mentales.

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Constante de Kaprekar

Escoge un número de cuatro dígitos. Ordena los cuatro dígitos en orden ascendente y réstalo a la ordenación de los cuatro dígitos en orden descendente. Repite el proceso hasta que obtengas una constante.

Por ejemplo, supongamos que partimos del número de cuatro dígitos 5342:

5432 – 2345 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174

El proceso termina porque si se sigue repetiendo la secuencia se sigue obteniendo el mismo resultado: 7641 – 1467 = 6174

El número 6174 es conocido como la Constante de Kaprekar en honor de su descubridor el matemático indio Kaprekar. Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905- 1986) nació en Dahanu, cerca de Bombay. Se interesó por los números siendo muy pequeño. Desde 1930 hasta su jubilación en 1962, trabajó como profesor de escuela en Devlali, India. Kaprekar descubrió muchas propiedades interesantes en la teoría de números recreacional.

La Constante de Kaprekar no es su única contribución. En matemáticas, un Número de Kaprekar es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original. El ejemplo más simple es 9, su cuadrado es 81 y 8+1= 9. Otro ejemplo es el número 703, su cuadrado es 494209. Si separamos 494209 en dos nuevos números, 494 y 209, obtenemos que 494 + 209 = 703. De igual forma, el número 297 también es un número de Kaprekar, ya que es posible descomponer el cuadrado 2972 = 88209 en 88 y 209.

Los primeros números de Kaprekar en base 10 son 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …

La Bruja de Agnesi

En la historia de la Humanidad existen errores que se han perpetuado para siempre. Como ejemplo valga citar a los “indios” que Cristóbal Colón pensaba que había encontrado cuando arribó al Nuevo Mundo, que no eran de la India ni mucho menos, pero es igual, el nombre quedó asignado para siempre con la consiguiente confusión que provoca. La curva denominada “Bruja de Agnesi” es un caso similar que trataremos en este 8 de marzo, Día de la Mujer.

Maria Gaetana Agnesi (1836)

María Gaetana Agnesi (Milán, 16 de mayo de 1718 – Milán, 9 de enero de 1799) destacó en varias disciplinas, como la lingüística, filosofía y matemática. En 1748 publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventù italiana, tratado al que se atribuye haber sido el primer libro de texto, que trató conjuntamente el cálculo diferencial y el cálculo integral. Esta obra gozó de notable éxito y fu traducida al inglés y francés. Es entonces cuando su nombre quedó inmortalizado para siempre en los tratados de Geometría.

La “bruja de Agnesi” se trata de una curva que Fermat había estudiado en 1703, y para la que Grandi, en 1718, había dado un método de construcción. Lo de “bruja” fue un error de traducción. Grandi llamó a la curva versoria en latín, y versiera en italiano. Es un término naval, que identifica la cuerda o cabo que hace girar la vela. María Gaetana Agnesi escribió a su vez la versiera, añadiendo el artículo femenino. John Colson, un traductor de Cambridge con poco conocimiento del italiano, llama a la curva witch (‘bruja’), debido a que “confundió” versiera con avversiera (que en italiano significa diablesa o bruja.

El método de construcción de la curva es sencillo; para obtener un punto cualquiera de la curva:

  • Trácese una circunferencia, con centro en el punto (0, a/2)
  • Desde el origen, (0, 0), trácense rectas que crucen con la recta y=a (recta OA en la figura, en la que a=10)
  • El punto P de la “bruja” será aquel en que se crucen las rectas BP (horizontal que pasa por el corte entre OA y la circunferencia) y AP (vertical que pasa por el corte entre OA y la recta y=a).

Con un poco de geometría se demuestra que la ecuación de la “bruja de Agnesi” es:

 y=\frac{a^3}{x^2+a^2}

Y las ecuaciones paramétricas son:

\begin{Bmatrix}x=at\\y=\frac{a}{1+t^2}\end{Bmatrix}

Agnesi, en su tratado, no presenta ecuaciones paramétricas, pese a que el tratamiento hubiera sido más sencillo, a través de  x=a \cot\theta y  y=a \sin^2\theta

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