La curva del manjar blanco

En 1903, el japonés Teiji Takagi encontró un ejemplo de función continua pero no derivable en ningún punto. Se trataba de un ejemplo más sencillo que el propuesto por Weierstrass en 1872 por el que conmocionó a la comunidad académica internacional. El de Takagi se trata de una curva fractal construible por la subdivisión en el punto medio. Partimos de una V invertida y se subdivide sucesivamente, reduciendo a la mitad su altura, formando una curva poligonal que asemeja dientes de sierra. La denominada “curva del manjar blanco” (blancmange curve, por su similitud con el postre homónimo) se obtiene como resultado de la suma infinita de los diferentes dientes de sierra. En la siguiente ilustración se ve el proceso:

Curva del manjar blanco

Los conceptos de función, continuidad y derivabilidad se vieron alterados enormemente en los siglos XIX y XX con el descubrimiento de este tipo de funciones. Sin embargo, algo que parecía poco común se fue demostrando como habitual, hasta el punto de que en la actualidad se sabe que, en realidad, son comparativamente muchas las funciones continuas que no son derivables. En realidad toda función continua es aproximable por funciones continuas y no derivables.

En tres dimensiones, el empleo de estas técnicas fractales permite generar imágenes artificiales que simulan, en ocasiones, paisajes naturales. El cine, la publicidad y los videojuegos está aprovechando estos procedimientos para elaborar sus propias escenografías y efectos especiales. Algunos de los programas más populares para la generación de paisajes fractales son MojoWorld y Terragen, que tienen sus propias comunidades de seguidores. Este último fue utilizado para producir imágenes de la Tierra en el film “Stealth” y diferentes imágenes planetarias en la serie de televisión “Star Trek: Némesis“.

Escena del film “Stealth”

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El enigmático número 23

La película “El número 23” ( Joel Schumacher, 2007) está basada en el enigma del número 23, una creencia que ya ha sido reflejada en más medios y por la cuál se cree que todos los incidentes y eventos están conectados con el número 23, con permutaciones del número 23 o números cercanos al 23.

Es un poco injusto otorgarle tanta fatalidad al número 23, pero este número primo tiene un sinfin de curiosidades. Aquí indicaré algunas, pero si te saben a poco, en la página “Prime Curios!” puedes encontrar muchas más.

  • Junto con el 239, son los dos únicos enteros que necesitan 9 cubos para ser representados. En concreto 23 = 2*2^3 + 7*1^3.
  • 23 es el único número primo p tal que p! tiene una longitud de p dígitos.
  • El homo sapiens tiene 23 pares de cromosomas.
  • 23 es el entero más grande que no es la suma de potencias distintas.
  • Existen 23 discos en la columna vertebral humana.
  • En una reunión con 23 personas, existe un porcentaje mayor al 50 por ciento de que dos personas compartan el misma día de nacimiento.
  • 23 = 1! + (2! + 2!) + (3! + 3! + 3!).
  • Según la teoría de biorritmos, todo el mundo sigue un cíclo físico de 23 días.
  • La suma de los primeros 23 primos es 874 (un múltiplo de 23). Nótese que 874 = 23 x 38 y el primo nº 23 es el 83.

Igualdades desiguales

Que 2 = 1 es por todos conocido y existen muchas demostraciones de ello. He aquí una:

1) Tomamos una igualdad cualquiera que sea cierta, por ejemplo:

2.3 = 6

2) Pasamos el 6 al otro lado de la igualdad:

2.3 – 6 = 0

3) Ahora a 2.3 lo llamo x y a 6 lo llamo y. Entonces queda: 

x – y = 0

4) Ahora multiplicamos los dos miembros por 2:

2x – 2y = 0

5) Como x – y = 2.3 – 6 = 0, entonces sustituyo x – y por 0: 

2x – 2y = x – y

6) Ahora sacamos factor común en los dos miembros:

2(x-y) = 1(x-y)

7) De donde, simplificando, se deduce que

2 = 1

También existen demostraciones de que 0 = 1, por ejemplo ésta:

0 = 0 + 0 + 0 +…
  = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +…
  = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +… (ley asociativa)
  = 1 + 0 + 0 + 0 +…
  = 1

Pero lo que poca gente conoce es que 7 x 13 = 28. Aquí os dejo la demostración dada por los norteamericanos Abbott y Costello en 1941. Espero que os guste y os resulte fácil de entender.

Y hoy un problemita de probabilidad: Se tiene dos dados. En las caras de uno de ellos aparecen los números 2, 4, 8, 16, 32 y 64, mientras que en las caras del otro aparecen los números del 1 al 6. Tiramos los dados y multipliquicamos los dos números que obtengamos. ¿Cuál es la probabilidad de que esta multiplicación sea un cuadrado perfecto?

El cubo, la película

“El Cubo” es una de esas películas que te deja sin respiración desde el principio hasta el final. La sinopsis, a grosso modo, es la siguiente: seis personas, desconocidas entre si, despiertan un día y se encuentran atrapadas en una prisión extraña y surrealista, en un laberinto sin fin de habitaciones cúbicas dotadas de trampas mortales. Entre ellos hay un policía, un ladrón profesional, un prodigioso estudiante de matemáticas y un joven autista.  Ninguno de ellos sabe porqué o cómo ha llegado hasta allí, porqué está preso, pero enseguida surgirá la obsesión en este grupo por huir, por planificar una salida de tan horrible cárcel.

El interés matemático de esta película salta a la vista en el mismo título de la misma. Entre los temas matemáticos que trata destacan los siguientes:

Codificación con números primos: A los pocos minutos de empezar la película aparecen los números primos como ejemplo de codificación de las habitaciones cúbicas. Afortunadamente uno de los personajes, Leaven, que es estudiante de matemáticas, descubre que no son unos números cualquiera, que tienen un sentido y encierran más información de la que en un principio sospechan.

Descomposición en factores primos: En la película vemos a un personaje autista, Kazan, el cuál tiene una habilidad asombrosa para saber los factores primos de un número “grande”, es decir, tiene la virtud de saber a priori si un número es primo ó no. A día de hoy no es tan fácil saber si un número es primo ó no, o al menos de saberlo en un periodo de tiempo razonable, por lo que este hecho se ha utilizado para la encriptación de datos. Sin embargo Kazan puede.

Geometría Tridimensional: En otra parte de la película se menciona explícitamente a Descartes, en particular, los ejes cartesianos. Pronto descubrirán que los cubos se mueven y se mueven siguiendo una determinada permutación que sorprendentemente esta codificada en los números que hay en cada puerta.

Este fin de semana busca un hueco para ver “El Cubo”. Puedes poner tus comentarios cúbicos sobre la misma.

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