El problema de Kakeya

A veces el espacio que tenemos para darle media vuelta a un coche es mínimo. Ahora bien, ¿cuál es el menor espacio necesario para hacer el giro? Y si abstraemos el problema y reducimos el coche a un segmento unitario, ¿cuál es el conjunto “más pequeño” del plano en el que se puede realizar ese giro? También podemos extrapolar el problema a tres dimensiones.

Conocido como el problema de Kakeya o de Besicovitch (en honor a los matemáticos japonés y ruso que lo estudiaron), las respuestas a estas cuestiones son un objeto del deseo del Análisis Matemático contemporáneo. Se denomina conjunto de Kakeya, o conjunto Besicovitch, a cualquier conjunto de puntos en el espacio euclídeo, que contiene un segmento unitario de línea en todas las direcciones. Mientras que muchos tipos de objetos satisfacen esta propiedad, varios resultados y preguntas interesantes son motivadas al intentar responder a la medida mínimo de dichos conjuntos.

En primer lugar, podemos pensar que el área necesaria para girar la aguja es un círculo con el centro en el punto medio de la aguja. Esta es la primera solución que nos viene a la cabeza.  Luego, podemos pensar en un triángulo de Reuleux. Una aguja que se mueva en su interior también gira ahí completamente y la superficie es más pequeña. Una profundización mayor nos llevaría a la superficie conocida como “deltoide” que también permite el giro de la aguja y cuya superficie (en relación con la aguja) parece pequeñísima. Es la representada en la siguiente figura:

Kakeya_needle
Durante mucho tiempo se pensó que esta deltoide era la solución del problema de Kakeya, pero en 1919, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que en realidad el área necesaria se podía hacer arbitrariamente pequeña. Ideó una solución muy sutil a base de desplazamientos longitudinales de la aguja y una sucesión casi interminable de giros de la misma. Besicovitch demostró que la solución podría tener medida nula.

 

 

Nuevas creaciones de Aakash Nihalani

Ya hablamos de Aakash Nihalani en una entrada anterior, ese artista de Nueva York que ha convertido la calle en un gran taller de geometría. En aquella ocasión utilizaba cintas adhesivas de colores para crear por la ciudad sorprendentes formas y figuras geométricas que dan una sensación de tridimensionalidad.  Ahora sus nuevas creaciones se refieren a operaciones que aparecen de forma implícita en la calle: cubos de basura que se multiplican, ventanas que se suman, se restan… Mejor verlo.

 

 

 

 

El cubo de Necker

El Cubo de Necker es una ilusión óptica publicada por primera vez en 1832 por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker. Se trata de un cubo en perspectiva axonométrica, esto es, que los límites paralelos del cubo están dibujados como líneas paralelas en la imagen. Cuando se cruzan dos líneas, la imagen no muestra cuál está en frente y cuál detrás. Esto hace que el dibujo sea ambiguo, ya que puede ser interpretado de dos maneras diferentes.

cubo-de-necker

Cuando se observa la imagen, suele suceder que se intercambia la visión entre las dos interpretaciones válidas. A esto se le denomina percepción multiestable.

Los psicólogos del siglo pasado lo usaban para demostrar que nuestros pensamientos o nuestro modo de pensar pueden afectar nuestras percepciones. Fíjate si puede hacer que la imagen cambie a voluntad (como en otras imágenes que le siguen). Haz aparecer al cubo en una perspectiva y luego en la otra. Que salte para acá y para allá. Cuando hayas conseguido todo eso, considera que -en realidad- lo que estás viendo es una figura de dos dimensiones, pero que para tu imaginación es un cubo visto desde la derecha o desde la izquierda.

El Cubo de Necker ha sido ampliamente utilizado como motivo artístico. Estas son algunas muestras de ello.

Cubo_de_Necker_4

 

necker2

 

necker3

Dados, ¡y qué dados!

Un dado es un objeto de forma poliédrica que se usa para mostrar un resultado aleatorio. Los dados se consideran derivados de la taba (nombre vulgar del astrágalo de los mamíferos) y desde la antigüedad se utilizan para la práctica de diferentes juegos. El vocablo parece que proviene del árabe clásico a‘dād, que significa número. En Roma al dado se lo llamaban álea, de ahí la frase de Julio César al cruzar el Rubicón: Alea jacta est, que significa “el dado está tirado”, otra forma de decir “La suerte está echada”. De álea proviene aleatorio, ‘al azar’.

Puesto que los cinco sólidos platónicos han sido objeto de veneración desde la antigüedad, dichas formas se han utilizado para fabricar dados por su perfecta regularidad. Es evidente que el dado de seis caras es el más utilizado en toda clase de juegos, seguramente por la facilidad de su fabricación, pues se trata de un simple cubo. Sin embargo, con el advenimiento de los juegos de rol en los años 70,  la utilidad de realizar tiradas de dados de menos o más de seis caras se hizo patente. He aquí un kit básico de dados para juegos de rol:

dados rol

Hasta aquí todo bien. Ahora entramos en el terreno del frikismo para ver como la imaginación humana no tiene límites a la hora de crear dados.

Dados con constantes matemáticas:

Dados matemáticos

Dados con operaciones:

math

Dados con conjuntos:

math_sets

Dados con potencias de 10:

magnitude

Dado con las permutaciones de las letras a, b, c:

permutaciones

Dados binarios:

binary

Dado con emoticonos:

emoticon

Y por último… ¡el dado de cien caras!, que en realidad no tiene cien caras, ni es un poliedro, sino que es una esfera. Bautizado en inglés en 1985 como Zocchihedron (o «zocchiedro» en castellano) por su inventor, el estadounidense Lou Zocchi, no ha conseguido venderse con éxito porque su rodadura tarda demasiado tiempo en detenerse y porque muchas veces la lectura del resultado de su tirada es confusa o ambigua. No es de extrañar, ¿no?

Zocchihedron2

 

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Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x2 + y2 = r2, la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

m^2+n^2\leq r^2.

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

GausssCircleProblem_650

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr2 y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/rse acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

GausssCirclePi_1000

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(ren la fórmula

N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

Gauss logró ya demostrar que 

E(r)\leq 2\sqrt{2}\pi r.

y escribiendo |E(r)| ≤ Crt, los actuales límites en t son

\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

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La fórmula de Herón

Herón ( siglo I d. C.) fue un ingeniero y matemático helenístico que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto). Aunque es matemáticas es conocido por su fórmula para calcular el área del triángulo, Herón fue uno de los científicos e inventores más grandes de la antigüedad. Entre sus logros cuenta la invención de la primera máquina de vapor (la eolípila) o el primer libro de robótica de la historia (“Los autómatas”).

En geometría, la fórmula de Herón calcula el área de un triángulo en relación con las longitudes de sus lados ab y c:

\acute{A}rea = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

donde s es el semiperímetro del triángulo:

s = \frac{a+b+c}{2}

Se puede encontrar una demostración de la fórmula en su libro Métrica, escrito en el 60 dC. Se ha propuesto que Arquímedes ya sabía la fórmula dos siglos antes, puesto que Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo.

Expresando la fórmula de Herón en forma de determinante  se obtiene este bello y simétrico resultado:

heron

Si saltamos a las tres dimensiones, así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia (ya hablamos de él en la entrada “El tartamudo de Brescia“) fue el primero que halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Esta es su expresión:

heron2

Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

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Teorema de la pizza

Imaginemos que dos personas van a comer una pizza. Para cortarla en ocho trozos, lo normal es que dichos cortes pasen por el centro y estén igualmente repartidos, lo que significa que están formando un ángulo de 45º entre cada dos de ellos. Pero ha habido un problema y es que han cortado la pizza formando un ángulo de 45º entre cada dos cortes consecutivos, pero sin que los cortes pasen por el centro. El esquema (exagerado un poquito) es el siguiente:

pizza

El problema ahora es si es posible repartir la pizza, sin realizar más cortes, de forma que cada una de las dos personas coma lo mismo.

Observando la imagen no da la impresión de que sea posible repartir los trozos de manera equitativa, puesto que cada trozo tiene una superficie diferente; sin embargo, el conocido como Teorema de la pizza nos dice que sí es posible y además establece cómo hacerlo.

Teorema de la pizza: Si una pizza es dividida en ocho trozos, obtenidos mediante cuatro cortes que pasan por un punto común y forman un ángulo de 45º entre ellos, entonces la suma de las áreas de los trozos alternos son iguales.

Esta cuestión fue originalmente propuesta por el matemático L. J. Upton en 1967 y resuelta por Michael Goldberg. Posteriormente, Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen. En el esquema siguiente se muestra:

pizza2

Se puede generalizar el resultado y preguntarse por diferente número de cortes. La generalización del Teorema de la pizza se conoce como el Teorema de la pizza de queso y fue dada por fue dada por R. Mabry y P. Deiermann en 2009.

Teorema de la pizza de queso: Si O es el centro de la pizza, esta se divide en n cortes a la “manera usual”, generando 2n trozos de pizza que se dividirán en dos familias de n trozos, grises y blancos, alternando uno de cada familia. Entonces,

i) si n > 2 es par o el centro O está en uno de los cortes, la superficie total de las zonas grises y de las zonas blancas es la misma,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡3 (mod.4), es decir, n es de la forma 4r+3, entonces la superficie de las zonas grises es mayor que la de las blancas,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡1 (mod.4), es decir, n es de la forma 4s+1, entonces la superficie de las zonas grises es menor que la de las blancas.

Y para finalizar una pequeña broma. Si P es una pizza de radio z y grosor a, entonces su volumen viene dado por la fórmula…

pizza

¿Cómo? Sólo tienes que aplicar la fórmula del volumen del cilindro

V = π r h

sustituyendo r por z y h por a.

Ahora sí, ¿no? Pues a sonreir.

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