El códice C

Después de la publicación del Código Da Vinci cualquier libro que lleve como título código o códice, parece que está impregnado de cierto halo de misterio. El best-seller combina el suspense detectivesco y el esoterismo, todo ello aderezado con una teoría de conspiración para darle más jugo al libro. En Matemáticas también hay historias que bien merecerían un libro de aventuras y suspense. Concretamente, la historia del códice C es apasionante.

Debemos remontarnos a la Siracusa del siglo III a.C. Allí nació Arquímedes y escribió la mayor parte de sus obras. La envergadura  de las obras de Arquímedes superaba la de los Elementos de Euclides y eran mucho más sofisticadas, sólo aptas para entendidos. Por lo tanto es razonable que no hubiera apenas copias de sus obras, posiblemente depositadas en la gran Biblioteca de Alejandría o en la biblioteca hija de Serapeum. Todas su obras desaparecieron y muchos de los resultados obtenidos por Arquímedes no fueron conseguidos por los sabios sino hasta 500 años después, dando pie a la cuestión de en qué estado de avance estaría la civilización actual si esos conocimientos hubieran estado al alcance de los eruditos.

Sin embargo entre los siglos IX y X se compusieron en Constantinopla tres manuscritos que recopilaban los resultados de Arquímedes encontrados hasta ese momento: los códices A, B y C. El códice A desapareció a mediados del siglo XVI, pero se hicieron varias copias que aún se conservan hoy en día en bibliotecas de Italia y Francia. El códice B desapareció antes y desde comienzos del siglo XIV no se supo más de él. El códice C es el único del que sabemos hoy en día su paradero, aunque el que menos influencia ha tenido para la ciencia puesto que ha permanecido oculto hasta que fue descubierto en 1906.

Palimpsesto de Arquímedes

En algún momento del siglo XII alguien decidió que la obra de Arquímedes no era demasiado importante y reutilizó este pergamino para escribir cosas más interesantes como un texto litúrgico. El manuscrito fue desatado, rascado, lavado y finalmente encuadernado junto con folios de otros cuatro libros. El devoto copista convirtió en palimpsesto el texto de Arquímedes y escribió sus oraciones cristianas sobre los más profundos teoremas que había producido el mundo griego. De esta forma quedó oculto durante siete siglos.

El académico alemán Constantine Tischendorf visitó Constantinopla (actual Estambul) en la década de los años 1840 y dio noticias de un escrito matemático griego visible en el palimpsesto. Pero sería el filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) quien se daría cuenta, cuando inspeccionó el palimpsesto en 1906, que se trataba nada más y nada menos que de Arquímedes, conteniendo obras que se creían perdidas.

Heiberg tomó fotografías de la obra, a partir de las cuales obtuvo transcripciones que publicó entre 1910 y 1915. Sin embargo, su trabajo quedó interrumpido por el inicio de la Primera Guerra Mundial. El texto quedó en posesión de la biblioteca de Constantinopla y pronto desapareció. ¡Parece que el sino de los códices arquimedianos es de desaparecer! Estuvo en paradero desconocido durante casi todo el siglo XX hasta que volvió a la luz el 28 de actubre de 1998 en una subasta en Christie´s en Nueva York. Fue adquirido por más de dos millones de dólares por un coleccionista americano anónimo.

El palimpsesto de Arquímedes fue sometido entre los años 1999 y 2008 a un intenso estudio en el Museo Walters, en Baltimore, así como a un proceso de restauración (el pergamino había sufrido deterioros por efecto del moho). El 29 de octubre de 2008, coincidiendo con el décimo aniversario de la adquisición del palimpsesto por subasta, toda la información derivada del documento, incluyendo imágenes y transcripciones, fueron alojadas en internet para su uso bajo una licencia Creative Commons, y las imágenes procesadas fueron publicadas en Google Books.

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¿Cúantos granos de arena llenarían el universo?

Esta es la pregunta que se hizo Arquímedes hace más de veintidos siglos. Aunque la mayoría de la obra de Arquímedes versa sobre geometría y aplicaciones físicas, su obra epistolar “El Arenario”  intenta probar que el numero de gramos de arena no es infinito. Este trabajo de Arquímedes es también conocido en latín como Archimedis Syracusani arenarius y circuli Dimensio, y se trata de ocho páginas traducidas de la obra, en donde se dirige al siracusano Rey Gelon II. Arquímedes lo expresa así:

“Hay algunos que creen que el número de granos de arena es infinito en cantidad y por arena entiendo no sólo la que existen en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en cualquier región habitada o sin habitar. Hay también algunos que, sin considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud. Y está claro que quieren mantienen esta opinión, si imaginasen una masa hecha de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenadas hasta una altura igual a la de las montañas más altas estarían muchas veces lejos de reconocer que se pueda expresar ningún número para exceda a la magnitud de la arena así conseguida. Pero intentaré demostraros por medio de puntos geométricos que seréis capaces de seguir, que los números nombrados por mí y que figura en la obra que os he enviado, algunos exceden no sólo el número de la masa de arena igual en magnitud a la Tierra llenado de la manera descrita, sino también la de la masa igual en magnitud al universo.”

El sistema de numeración de Arquímedes consistía en lo siguiente utilizaba al principio una miríada o 10.000, como unidad de primer orden y obtenía por extensión el número 100.000.000 =10.000 2. Después partiendo de la miríada de la miríada como magnitud de primer orden llegaba por extensión hasta 100.000.000 2 que se convierte en la unidad de tercer orden, que extendiendo llega hasta 100.000.000 3, y así podemos continuar hasta llegar al término 1.000.000.000-ésimo que termina en el número 100.000.000 100.000.000 al que llamaremos N.

Arquímedes utililizaba este número N como el último término del primer período. Utilizando este N se puede continuar con la secuencia N, N 2, N 3… hasta el 100.000.000-ésimo período o lo que es lo mismo, N elevado a 100.000.000.

Sin duda la magnitud de este sistema de numeración es enorme. ¡Este número se representaría como un 1 seguido de ochenta mil billones de ceros!

Una vez establecido el sistema de numeración, Arquímedes procede a llenar con arena el universo conocido en la época, considerando una serie de esferas con origen en el centro de la Tierra y cuyo radio debía ser la distancia de la Tierra al Sol. La estimación de Arquímedes es finalmente de 10 63 granos de arena.

Y Arquímedes concluye su carta:

“Yo concibo que estas cosas, el rey Gelon, aparecerán increíbles para la gran mayoría de las personas que no han estudiado las matemáticas, pero que a los que están familiarizados con ella y han reflexionado sobre la cuestión de las distancias y los tamaños de la Tierra, la Sol, la Luna y el universo entero, la prueba será convincente.”

arquimedes

Mosaico sobre la muerte de Arquímedes

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Un torneo medieval

Liber Abaci

Liber Abaci

Las principales obras de Leonardo de Pisa (1175 – 1250), más conocido como Fibonacci, son el Liber Abaci y Liber Quadratorum, donde destacan numerosas contribuciones a las matemáticas como la introducción en Occidente del sistema de numeración decimal que usamos hoy en día.  En esta última obra comenta el torneo que tuvo lugar en la corte de Federico II de Sicilia, en el que Fibonacci se enfrentó a Juan de Palermo y al cual derrotó. No se trataba de ningún torneo con caballos, escudos y lanzas, sino de un torneo intelectual para medir la capacidad de resolver problemas matemáticos en el menor tiempo posible. Cada participante proponía un problema a su adversario, que debía saber resolverlo. De este torneo Fibonacci comenta tres problemas en su Liber Quadratorum.  El primero tiene el siguiente enunciado:

 
Encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé también cuadrado.
 
Su resolución es todo un ejemplo de elegancia y desenvoltura para manejarse con expresiones algebraicas.
Escrito en nuestra notación actual, Leonardo parte de la siguiente identidad (a veces conocida como de Fibonacci): 
(m2+n2)2 ± 4mn(m2-n2) = (m2-n2±2mn)2
Si encontráramos dos números enteros m y n tales que 4mn(m2-n2)=5 el problema estaría resuelto, pero esto no es posible ( un número par no puede ser igual a uno impar), de modo que la solución debe ser un número racional. Dividimos ambos miembros de la igualdad por p2 y resulta:
 
ecuación 
 
Como 4mn(m2-n2)=5p2, necesariamente p2 debe ser múltiplo de 4, por lo que p=2q. La identidad se transforma entonces en mn(m2-n2)=5q2. Ahora Fibonacci observa que uno de los factores del primer miembro ha de ser múltiplo de 5. Pongamos que m=5, entonces simplificando queda n(25-n2)=q2. El primer valor que hace que n(25-n2 sea un cuadrado es n=4. Para ese valor de n tenemos que q=6 y p=12y el número buscado es el siguiente:
 
ecuación
 
que, efectivamente, cumple las condiciones iniciales.
 
En el segundo problema se trata de hallar un número x para el cual x3+2x2+10x=20. Leonardo demostró que la solución no puede ser racional y después encontró una solución aproximada, que en notación actual sería x=1.368807874148, y que fue la mejor aproximación de una raíz irracional conseguida hasta el momento.
 
El tercer problema es la historia de tres hombres se reparten al azar un capital. A continuación, el primero aporta a un fondo común la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después hacen con el fondo tres partes iguales, y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto tuvo cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte?
 
Leonardo toma como incógnita auxiliar u una de las tres partes en que se ha dividido el fondo formado por las fracciones de las partes tomadas al azar. Si éstas son x, y y z, y el capital total es c, tenemos las ecuaciones:
 
igualdades
 
La solución entera más pequeña es u=7, c=47, x=33, y=13 y z=1.
Y para ilustrar a Fibonacci nada mejor que una versión artística de su conocida espiral:
 
Espiral fibonacci

La cuadratura del círculo por decreto ley

En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema clásico de la cuadratura del círculo. Sin embargo, ha habido intentos posteriores de demostrarla, incluido un intento de cuadrar el círculo “por decreto ley”.

El Proyecto de Ley de Indiana sobre Pi (en inglés Indiana Pi Bill) es el sobrenombre que se le dio al proyecto de ley número 246 de las sesiones del año 1897 de la Asamblea General de Indiana, cuyo punto principal proclamaba un método para cuadrar el círculo, aunque habían pasado 15 años de la demostración de su imposibilidad.

En 1897, un médico y aficionado a las matemáticas llamado Edwin J. Goodwin (1825 – 1902) creyó que había descubierto una forma de realizar la cuadratura del círculo y, en vez de proponer su demostración a la comunidad matemática mundial, Goodwin le propuso al representante por Indiana Taylor I. Record un proyecto de ley y este a su vez lo elevó a la Asamblea Legislativa con el siguiente título “Un proyecto de ley que presenta una nueva verdad matemática y que es ofrecido como una contribución a la educación que solo podrá ser utilizado por el Estado de Indiana en forma gratuita sin necesidad de pagar ningún tipo de royalties, siempre y cuando sea aceptado y adoptado en forma oficial por la legislatura en 1897″.

C. A. WaldoCuando el debate estaba concluyendo, llegó a Indianapolis el profesor C. A. Waldo de la Universidad de Purdue para gestionar el presupuesto anual para la Academia de Ciencia de Indiana. Un asambleista le dio una copia del proyecto de ley, ofreciendo presentarle al genio que la había escrito. Waldo rechazó la invitación alegando que ya conocía tantos locos como estaba dispuesto a soportar. El Senado de Indiana no había completado la aprobación final del proyecto de ley y el profesor Waldo logró convencer a un número suficiente de senadores para que postergaran el proyecto en forma indefinida.

12-12-12, día duodecimal

Se acerca una fecha muy especial: 12/12/12. La próxima vez que volverán a coincidir las tres cifras será el 12 de diciembre de 2112, así que como es poco probable que pueda escribir un post en esa fecha haré una mención especial al número 12 en estos días. Y qué mejor motivo que hablar del sistema duodecimal.

El 12 es un número compuesto, que tiene como factores propios el 1, 2, 3, 4 y 6. En cambio el 10, en el que se basa nuestro sistema decimal, sólo tiene como factores propios el 1, 2 y 5. Debido a esto, las multiplicaciones y divisiones en base 12 son más sencillas, lo cual unido a la relevancia histórica de este número para muchas civilizaciones, ha hecho que existan sociedades que promuevan el sistema duodecimal como base universal de numeración. El escritor norteamericano F. Emerson Andrews fundó The Duodecimal Society el 5 de abril de 1944 con el propósito de “dirigir investigación y educación pública en la ciencia matemática, con especial dedicación al uso de la Base Doce de numeración, en matemáticas, pesos y medidas“. En su publicación periódica  The Duodecimal Bulletin difundían las virtudes de este sistema de numeración. La fiebre por el 12 se extendió posteriormente a Europa, creándose The Dozenal Society of Great Britain en 1959. Y no les falta razón en su pasión por este número. Veamos algunas de las ventajas del sistema duodecimal:

En cualquier sistema de numeración posicional todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base, tendrán una representación decimal infinita. En base 10, por ejemplo, 1/2 =0,5, pero en cambio 1/3=0,33333… En el sistema duodecimal, aunque 1/5 no sería exacto, en cambio 1/3, 1/6, 1/9 y 1/12 sí lo serían. Por lo tanto, en el sistema duodecimal habrá más fracciones exactas que en el sistema decimal.

La gran ventaja del sistema duodecimal sería la tabla de multiplicar en base 12, que sería la siguiente (A representa el 10, B el 11 y10 es una docena en el sistema duodecimal):

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

 

De ella se observa que un número primo sólo puede acabar en 1, 5, 7 ó B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

  • Los acabados en 0, 2, 4, 6, 8 y A son múltiplos de 2
  • Los acabados en 0, 3, 6 y 9 son múltiplos de 3
  • Los acabados en 0, 4 y 8 son múltiplos de 4
  • Los acabados en 0 y 6 son múltiplos de 6
  • Los acabados en 0 son múltiplos de 12

Sencillo, ¿no?

Además de todo esto, el año tiene 12 meses  y ello se debe a que en un año la luna gira aproximadamente doce veces alrededor de la Tierra, de ahí que los antiguos astrónomos establecieran los doce signos del Zodíaco. Antiguas civilizaciones tales como los egipcios y sumerios tenían un sistema duodecimal. Además de la razón astronómica, el sistema duodecimal tenía una lógica como la que podemos tener para la utilización de un sistema decimal (que no es otro que la existencia de 10 dedos en las manos). El sistema se basaba en contar las falanges de los 4 dedos de una mano con el pulgar, de tal modo que una vez se hubieran contado los cuatro dedos se tendrían doce segmentos. Esta forma de contar se sigue usando en algunos paises de Asia.

Dan ganas de pasarse al sistema duodecimal, ¡a qué sí!

 

Este artículo participa en la edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que organiza Carnaval de Matemáticas y cuyo blog anfitrión es Pimedios – la aventura de las matemáticas.

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La tablilla Plimpton 322

El Teorema de Pitágoras no lo descubrió Pitágoras, siento defraudar, sino que se conocía 1500 años antes de que naciera. Desde que se descubrió la tablilla Plimpton 322 a principios del siglo XX se sabe que era conocida en tiempos de los babilonios (1800 a.C.). El nombre de la tablilla proviene del editor neoyorkino George Arthur Plimpton, que compró la tablilla al arqueólogo Edgar J. Banks en 1922, siendo donada a su muerte en 1936 a la Universidad de Columbia donde se encuentra depositada hoy en día. La tablilla proviene de Senkereh, un lugar en el sur del actual Irak, correspondiente a la antigua ciudad de Larsa.
 
 
La tablilla Plimpton 322 tienen unas dimensiones de 13 x 9 cm y un grosor de 2 cm, y está escrita con números cuneiformes en el sistema sexagesimal. Su transcripción a los números arábigos es la siguiente:
 

¿Qué significan todos estos números? Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,   47   6   41   40  ________  5   19  ______  8   1  _____   6

Puesto que están escritos en el sistema sexagesimal, debemos convertirlos al sistema decimal teniendo en cuenta que el primero es un 1 seguido de varios decimales. La conversión se realiza de la siguiente forma:

1 , 47  6  41   40 = 1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4 = 1,785192901

y de la misma forma con los siguientes números.

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

Resulta que 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y 319 uno de los catetos. El otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras valdría 360, pero eso no consta en la tablilla. Si hacemos el cociente entre la hipotenusa y este último cateto da 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901, ¡¡¡que coincide exactamente con el valor escrito en la tablilla hasta el noveno decimal!!!

Sorprende la exactitud de dichos cálculos y nos muestra lo avanzado de las matemáticas en la época babilónica. El primer número representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos. Pero, ¿por qué esta lista? ¿Qué significado tiene?

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números p,q , para hallar la terna pitagórica p2-q2, 2pq , p2+q2. Limitándose a valores de p menores que 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios descubrieron que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes. En la tablilla Plimpton 322 aparecen las 15 primeras, ordenadas por los valores correspondientes  a los ángulos desde 45o hasta 31o. Las restantes debían estar en otra u otras tablillas que no se han descubierto aún.

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Pitágoras en Menorca

Las taulas (“mesa” en catalán) sorprenden a todo viajero de la isla de Menorca y son un monumento único y característico de la cultura talayótica. Están formados por dos grandes bloques de piedra puestos el uno sobre el otro por su propio peso, en forma de “T”. Su fecha de construcción es incierta, oscilando según los autores entre el año 1500 aC al 350 aC. En Menorca existen actualmente treinta y una taulas y de ellas once están completas. Se encuentran distribuidas de manera aleatoria en la parte sur de la isla, siempre en el interior de un poblado. Las taulas son únicas de Menorca y no existe ninguna construcción similar en las Islas Baleares, ni en otros lugares del Mediterráneo, lo cual añade bastante misterio a su origen. ¿Quién construyó las taulas y por qué lo hizo?

Aunque se han estudiado desde hace mucho tiempo, sólo recientemente el investigador Vicente Ibáñez Orts ha buscado una relación entre las dimensiones de las losas y sus resultados son realmente sorprendentes. Tomando como ejemplo el poblado de Torre d´en Gaumés, que es el mayor de la isla, las dimensiones de su taula son aproximadamente de 0.60 m de grueso, 1.25 m de ancho y 2.50 m de largo. ¿Tienen estas medidas alguna particularidad? Efectivamente, sus dimensiones están en progresión geométrica. No deja de sorprender que un hecho tan evidente no haya sido observado por ninguno de los investigadores que precedieron a Ibáñez.

Torre d´en Gaumés

Según el investigador, dado que el grueso de esta piedra fluctúa entre 0.60, 0.65 y 0.67 metros, que parece coincidir con 9 palmos helenos (9 x 7.4 = 66.6 cm), se puede conjeturar que sus dimensiones debieron de ser 36, 18 y 9 palmos. La medida del palmo griego típico es 7.4 y correspondía al espesor de los cuatro dedos centrales de la mano.

Trepucó

Aplicando esta hipótesis a otras taulas se obtienen dimensiones de 24, 12 y 6 palmos en Na Comerma de sa Garita, 28, 14 y 7 palmos en Binisafullet, y 52, 24 y 11 palmos en Trepucó. Sin embargo, en Sa Torreta de Tramontana las dimensiones son de 40, 16 y 10, que no están en progresión geométrica. ¿Hay que descartar la hipótesis? No, sólo hay que ampliarla, puesto que 16 es la media armónica de 40 y 10. Esto también ocurre en Torralba d´en Salort, donde se obtiene 52, 16.76 y 10, siendo la media armónica entre 52 y 10 de 16.774.

Torralba d´en Salort

En la cultura talayótica de Menorca no cabe hablar del conocimiento de la progresión geométrica ni de la media armónica, por lo que alguien tuvo que llegar a la isla con suficiente formación matemática como diseñar las taulas: ¿quién fue?, ¿cuándo llegó?, ¿fue un seguidor de la escuela pitagórica? El profesor Vicente Ibáñez se pronuncia a favor de está hipótesis, apoyada por la historia de esta escuela. Los miembros de la secta que fundo Pitágoras, tras la muerte de su fundador hacia el año 500 aC, se siguieron extendiendo por las ciudades griegas de la Magna Grecia: Crotona, Sibaris, Tarento, etc. En el año 450 aC estás ciudades se levantaron contra los pitagóricos, que en su huida se refugiaron en Metaponto. Allí serían cercados y aniquilados, dando fin a la escuela. En la desbandada que se produjo tras la toma de Metaponto, muchos pitagóricos se refugiaron en ciudades del Mediterráneo. ¿Algún miembro de la secta pudo desembarcar en Menorca e inspirar la construcción de la taulas? Las medidas de las taulas parecen indicar este hecho, aunque faltan otros hallazgos que apoyen esta hipótesis.

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