Teorema de la amistad

Supongamos que en una fiesta hay 6 personas. Consideremos a cualquiera dos de ellos. Puede ser que se reúnen por primera vez, en cuyo caso son mutuamente extraños, o puede ser que se hayan conocido antes, en cuyo caso se les llamará mutuamente conocidos. Ahora, el Teorema de la amistad nos dice que:

En cualquier grupo de seis personas, existen tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas.

Para analizar el problema podemos realizar los 78 grafos posibles de amigos-extraños con 6 vértices. En cada grafo, las aristas de color azul/rojo muestran la relación mutua de amigos/extraños.

grafo amistad

Se observa que en todas las representaciones no se puede evitar que exista un triángulo rojo o un triángulo azul, es decir, tres personas mutuamente extrañas o tres personas mutuamente conocidas, lo cual demuestra el teorema.

Otra forma de abordar el problema es utilizando el Principio del Palomar. Elijamos uno de los vértices. Hay cinco aristas incidentes en ese vértice, cada una coloreada con el color rojo o azul. Pues bien, de esas cinco necesariamente tres aristas deben ser del mismo color, ya sea azul o roja.

El Teorema de la amistad apareció por primera vez en 1930, en un trabajo titulado «On a Problem in Formal Logic» (Sobre un problema en lógica formal), donde Frank P. Ramsey demostró un teorema más general, conocido en la actualidad como Teorema de Ramsey en el que el Teorema de la amistad es un caso particular. Frank Plumpton Ramsey (1903- 1930) fue un matemático y filósofo inglés que hizo importantes contribuciones teóricas a la matemática, la estadística y la economía. La inteligencia de Ramsey impresionó de forma temprana a los académicos de Cambridge: se graduó con la máxima calificación de su promoción, fue capaz de aprender alemán en tan sólo una semana y accedió como profesor al King’s College con tan solo 21 años. Desgraciadamente sufría una dolencia crónica de riñón y tras una operación murió a la edad de 26 años, acabando con una prometedora carrera.

Frank_Plumpton_Ramsey

Frank P. Ramsey

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El Juego Real de Ur

El Juego Real de Ur es, junto con el egipcio Senet, el juego más antiguo del que se tiene conocimiento y ambos son considerados los predecesores del actual backgammon. Fue descubierto en 1922 por el arqueólogo británico Sir Leonard Woolley en la necrópolis real de Ur, la ciudad principal de los sumerios en el sur de la baja Mesopotamia, actualmente Irak. La excavación arqueológica constaba de unas 1850 tumbas que fueron utilizadas en el periodo comprendido entre el 2650 y el 2050 a.C.

Mapaur

Entre 1922 y 1938, se encontraron varios tableros y piezas del juego, lo cual hace suponer que los sumerios tenía por costumbre colocarlos en las tumbas para que las almas de los difuntos tuvieran un pasatiempo con el que entretener su eternidad. Uno de los tableros mejor conservados se conserva hoy en el Museo Británico de Londres. Fue hecho en madera con incrustaciones de concha, lazulita y piedra caliza roja puesta en alquitrán o brea.

tablero ur

El Juego Real de Ur del British Museum de Londres

Las reglas originales no se conocen, pero sí las que se utilizaban en 177-176 a.C., fecha en la que se descubrió una tablilla cuneiforme que, haciendo uso del mismo tipo de tablero, relata las instrucciones por las que se regía en ese momento. El Juego Real de Ur era jugado por dos jugadores, cada uno con siete fichas (negras y blancas, como en las damas o el ajedrez), y se usaban tres dados tetraédricos. El objetivo del juego es realizar el recorrido que corresponde a las fichas propias antes que el oponente. Para ello, se emplearán los dados y la puntuación vendrá determinada por el número de vértices marcados que queden hacia arriba.

ur_recorrido

El Juego Real de Ur se sigue comercializando hoy en día y constituye el testimonio material más antiguo de una de las actividades más singulares de la naturaleza humana: el juego.

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El Cubo de Rubik

El cubo de Rubik fue inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernő Rubik en 1974. Su propósitoErno Rubik original era resolver el problema estructural de mover las partes de un cuerpo tridimensional de forma independientemente sin que el mecanismo entero se desmoronara. Rubik no se dio cuenta de que había creado un rompecabezas hasta la primera vez que mezcló su nuevo cubo e intentó volverlo a la posición original. Los primeros productos de este invento salieron a la venta a finales de 1977 en jugueterías de Budapest con el nombre de Cubo Mágico (Bűvös Kocka). Su éxito fue tal que la compañía Ideal Toys se decidió por exportarlo, fabricando un cubo más ligero con el nombre de El nudo gordiano y Oro Inca, pero finalmente se decidió por El cubo de Rubik. La primera entrega fue exportada de Hungría en mayo de 1980.

Matemáticamente hablando, ¿cuántas combinaciones hay del cubo de Rubik? Analicemos el asunto:

  • Hay 12 aristas en un cubo de Rubik y, por lo tanto, 12 posiciones en las que colocarlas. ¿Cuántas combinaciones son estas? La primera arista tiene 12 posibilidades, la segunda ya sólo tiene 11 posibilidades (hay un hueco ocupado), la tercera 10 posibilidades, y así hasta colocar las 12 aristas. Es decir, hay 12*11*10*…*2*1 = 12! posibilidades.
  • Hay 8 vértices en un cubo de Rubik, por lo que, actuando como en el caso anterior, tenemos 8*7*…*2*1 = 8! casos posibles.
  • Cada arista tiene 2 posibles orientaciones, por lo que el número de casos posibles será 2*2*…*2*2 (12 veces), es decir, 212 combinaciones.
  • Cada vértice tiene 3 posibles orientaciones, por lo que, actuando como en el caso anterior, tenemos 3*3*…*3*3 = 38

Sin embargo, también tenemos algunas limitaciones:

  • No se puede cambiar la orientación de únicamente una arista, por lo que debemos dividir entre 2.
  • No se puede cambiar la orientación de únicamente un vértice, por lo que debemos dividir entre 3.
  • No se puede intercambiar la posición de únicamente dos aristas, o de únicamente dos vértices, excepto que se hagan ambas cosas a la vez. Por lo tanto, debemos dividir el resultado entre 2.

Por lo tanto, el número de combinaciones del cubo de Rubik es:

12! * 8! * 212 * 38 / (2*3*2) = 43.252.003.274.489.856.000 = 4,3 * 1019 combinaciones posibles.

¿Cómo es de grande este número? Vamos a compararlo con el tiempo transcurrido desde el Big Bang. La edad del universo se estima en unos 13.700 millones de años, es decir 1,3 * 1010 años. Si calculamos los segundos transcurridos desde el origen del universo nos da 4,3 * 1017, que son ¡100 veces menos que el número de combinaciones del cubo de Rubik! Es decir, que si desde el mismo inicio del universo existiese un cubo de Rubik tomando una combinación distinta en cada segundo, ahora mismo estaría a punto de conseguir únicamente el 1% del número de combinaciones del cubo de Rubik.

Cubo de Rubik

Otra pregunta que se han hecho los aficionados al cubo de Rubik es: ¿Cuál es el número máximo de movimientos para resolver cualquier cubo de Rubik? Debido a los quebraderos de cabeza que ha provocado esta cuestión, el número de movimientos necesarios para resolver el cubo de Rubik pasó a denominarse “el número de dios”. Ya en 1981 se descubrió que el número de dios debía estar acotado entre 18 y 52. El margen de error fue bajando hasta que en en 1995 se consiguió reducir la incertidumbre entre 20 y 29 movimientos. El problema se ha abordado desde la potencialidad de los ordenadores, sin embargo, la enorme cantidad de posiciones distintas del cubo de Rubik desborda la capacidad de cualquier computadora. Sin embargo, el problema se puede reducir a un grupo de problemas más pequeños, quedando eliminados los giros, simetrías y otras similutudes. De esa manera se demostró en el año 2010, 29 años después de la primera estimación, que el número de dios era exactamente igual a 20. Todas las posiciones se pueden resolver en un máximo de 20 movimientos. También se sabe también que «sólo» hay unos 300 millones de posiciones que requieran esos 20 movimientos, más o menos una de cada 1.000 millones de todas las posibles. El resto requieren menos de 20 movimientos.

Escultura Michigan

Escultura en el campus de la Universidad de Michigan

¿Se puede resolver el cubo de Rubik en 20 pasos? Muchas personas se preguntan si existe un algoritmo para resolver el cubo de Rubik en 20 movimientos. Pues no. Hay que tener en cuenta que aunque se pueda resolver el cubo de Rubik en 20 movimientos, estos movimientos serán totalmente distintos para cada posición. Y debido al gran número de posiciones posibles, un ordenador potente puede solucionar el cubo de Rubik, pero no una persona.

Speedcubing es la práctica de intentar resolver un cubo de Rubik en el menor tiempo posible. El primer torneo mundial lo organizó el Libro Guinness de los Records, y se llevó a cabo en Múnich el 13 de marzo de 1981. Todos los cubos fueron girados 40 veces y lubricados con vaselina. El ganador oficial, con una marca de 38 segundos fue Jury Froeschl, nacido en Múnich. Desde 2003, las competiciones se determinan por el promedio de tiempo (de 5 intentos); pero el mejor tiempo único de todos también lo registra la World Cube Association (WCA), que mantiene el registro de las plusmarcas mundiales. Los campeonatos amparados por la WCA incluyen varias modalidades de resolución del cubo de Rubik. Estas incluyen:

  • Resolverlo con los ojos vendados (blinfolded). El tiempo cronometrado incluye tanto el tiempo de inspección como el de resolución.
  • Resolverlo con una mano (one-handed).
  • Resolverlo con los pies (with feet).
  • Resolverlo en la menor cantidad de movimientos (fewest moves).

Además de las competiciones oficiales, hay modalidades alternativas no reconocidas por organismos reguladores, como resolverlo bajo el agua en una sola respiración.

La actual plusmarca mundial la sustenta el australiano Feliks Zemdegs con un mejor tiempo de 5.66 segundos en el Melbourne Winter Open 2011. En dicha competición también consiguió el mejor tiempo promedio, 7.64 segundos.

Variaciones del cubo de Rubik

Variaciones del cubo de Rubik

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World Maths Day

Este 1 de febrero comenzó la cuenta atrás para el World Maths Day. ¿Qué es esto? El World Maths Day  es una competición online para estudiantes de matemáticas desde 4 a 18 años, que se viene celebrando desde 2007 coincidiendo con las fechas cercanas al 14 de marzo (Día de pi). Se trata de resolver preguntas en cinco categorías: suma, resta, multiplicación, división y ecuaciones. En cada juego, el estudiante tiene un minuto para responder a tantas de estas preguntas de una categoría como pueda, compitiendo con otros tres contrincantes de todo el mundo. El nivel de dificultad está adecuado a su edad. Por ello se han establecido cuatro niveles: de 4 a 7 años, de 8 a 10, de 11 a 13 y de 14 a 18. En el año 2012 concursaron 5,96 millones de estudiantes que contestaron 293.571.830 preguntas de matemáticas.  Los 10 mejores estudiantes de cada grupo de edad recibirán medallas de oro y los 50 mejores alumnos recibirán certificados enviados por correo. El país que recibe el mayor número de medallas recibe la Copa Mundial de Matemáticas que se entrega al Ministerio de Educación del país. 

La plataforma está abierta desde el 1 de febrero. Sólo tienes que inscribirte en la dirección http://www.worldeducationgames.com/ y empezar a competir. ¿Te animas?

world-maths-day

 

Cartas al borde de una mesa

A veces un planteamiento sencillo de un problema esconde un resultado sorprendente. Por ejemplo, ¿cuánto pueden sobresalir unas cartas colocadas al borde de la mesa? La intuición nos dice que no puede ser mucho, que el equilibrio es muy precario y como mucho podrá sobresalir una longitud de, quizá una carta. Analicemos el problema:

 Una sola carta sobresaldrá la mitadde la misma:

Con dos cartas, para que estén en equilibrio, sobresaldrá 1/2 + 1/4 como es evidente en la siguiente figura:

Hasta ahora encontrar el punto de equilibrio, o sea, el centro de gravedad ha sido muy sencillo. Uno podría pensar que con tres cartas se obtendría el resultado 1/2 + 1/4 + 1/8, con lo cual la suma infinita de la serie geométrica daría 1. La visera tendría una longitud de una carta. Pero no va a ser así. ¿Dónde está el centro de gravedad con tres cartas? Resolviendo una sencilla ecuación se obtiene la serie 1/2 + 1/4 + 1/6

Ahora ya tenemos la clave para descifrar el problema. La serie que debemos sumar es:

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...

que es la mitad de la serie armónica: la mitad de infinito es igual a, agárrense, INFINITO!!!

Hablando de nuestras cartas al borde de la mesa podemos ahora decir que la visera que podemos formar al borde de una mesa es INFINITA. Sorprendente, ¿no? Desgraciadamente la convergencia de la serie armónica es muy lenta y, por ejemplo, con 100 cartas la visera sobresale poco más de 5 cartas. Con paciencia puedes comprobarlo tú mismo.

Magia matemática

Las matemáticas y, en concreto, los números son muy dados a hacer trucos de magia. Todos ellos se basan en propiedades de los números desconocidas por el público que hacen que el “mago matemático” adivine un número realizando algunas operaciones. He aquí una selección de Magia Matemática. ¡Que disfrutes!

Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8). Pide a un voluntario que te diga una cifra del 1 al 9. Multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a esa persona que multiplique los dos números. ¿Qué se obtiene?

Piensa un número de 4 cifras (por ejemplo 1234) pero que la primera y última sean diferentes. Ahora intercambia las cifras primera y última (sería 4231). Resta el mayor y el menor. Vuelve a intercambiar la primera y la última cifra, pero ahora sumas los resultados. ¿Has obtenido este número?

 Ups, perdón, pero he colocado la imagen al revés. Para ver la solución correcta puedes girar tu ordenador 180º o, si tienes buena flexibilidad, hacer lo propio con tu cabeza.

Pídele alguien que piense en una fecha (puede ser la de su cumpleaños), luego dale una calculadora y pídele que realice los siguientes cálculos:

1- Que escriba el número del mes que eligió.
2- Que multiplique ese número por 5.
3- Que sume 6 a ese resultado.
4- Que multiplique la respuesta por 4.
5- Que sume 9 a ese total.
6- Que multiplique el resultado por 5.
7- Que sume el número del día.
8- Que sume 700 a ese total.

Finalmente, pídele la calculadora con el resultado. Resta 865 y… ¡tachán!, aparecerá la fecha que él eligió. El primer dígito es el número del mes y los dos últimos el número del día. ¿Cuál es el truco?

Por último, el famoso truco de “La adivina”.

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Probabilidad empírica

El cálculo de probabilidades surgió bastante tarde, ya en el siglo XVII, y las motivaciones que lo impulsaron no fueron otras que la búsqueda de las mejores estrategias para ganar en los juegos de azar. Hasta tal punto es tardío su desarrollo que la famosa ley de Laplace como el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles no llegó hasta 1814.

Aunque hoy en día a nadie le cabe la menor duda de que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es del 50 %, algunos investigadores escépticos se han dedicado a lanzar monedas o dados para comprobarlo. Uno de ellos fue el matemático sudafricano John Kerrich, que fue encarcelado en la Segunda Guerra Mundial, y estando en prisión encontró su entretenimiento lanzando 10.000 veces una moneda al aire. El resultado: 5.067 caras y 4.933 cruces. El conde de Buffon, naturalista francés del siglo XVIII, también dedicó su tiempo a lanzar monedas. De 4.040 lanzamientos obtuvo 2.048 caras y 1.952 cruces. Pero la palma se la lleva Karl Pearson, uno de los padres de la estadística actual, que lanzó una moneda 24.000 veces y obtuvo, como era de esperar, unas 12.000 caras, concretamente 12.012, lo cual da una proporción de 0,5005.

Los dados también han sido objeto de lanzamientos reiterados por parte de investigadores de la probabilidad. El astrónomo suizo Rudolf Wolf se dedicó a lanzar 20.000 veces dos dados (uno rojo y otro blanco) obteniendo resultados que se alejaban bastante de los resultados teóricos. Por ejemplo, el 4 blanco y el 4 rojo salió 413 veces, mientras que el 6 blanco y 1 rojo salió 690 veces, lo cual no es imposible, pero sí poco probable, por lo que es de suponer que dichos dados estaban trucados.

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