Números felices

Los números, al igual que las personas, pueden ser felices o infelices. Sin embargo, la felicidad de un número es mucho más sencilla. ¿Cómo distinguir si un número es feliz? Muy fácil: se suman los cuadrados de sus dígitos y se repite el proceso cuantas veces sea necesario; si en algún momento obtenemos un 1, hemos terminado y el número original es feliz. En caso de entrar en un ciclo, el número original es infeliz.

Por ejemplo, 82 es un número feliz ya que:

8^2+2^2=68

6^2+8^2=100

1^2+0^2+0^2=1

En cambio, 89 es un número infeliz:

8^2+9^2=145

1^2+4^2+5^2=42

4^2+2^2=20

2^2+0^2=4

4^2=16

1^2+6^2=37

3^2+7^2=58

5^2+8^2=89

y entramos en bucle al volver a obtener 89.

Los primeros números felices hasta el 100 son el 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100. Aunque parecen abundantes, en realidad los números felices son cada vez más infrecuentes a medida que aumenta el número de cifras. Así hay un 22,22% de una cifra, 18,89% de dos cifras, 13,67% de tres cifras, etc. Pese a ser cada vez más escasos a medida que aumentamos el número de dígitos siempre se podrá encontrar un número feliz, lo cual es reconfortante: todos los números de la forma 10^k lo son.

Existen series de números consecutivos de números felices tan largas como se quiera. El primer par de números felices consecutivos son el 31 y el 32. El primer trío es el 1880, 1881 y 1882. Y cada vez hay que irse más lejos para encontrar cadenas de números felices consecutivos. Por ejemplo para encontrar una cadena de 9 números felices consecutivos debemos recurrir a números de 215 cifras.

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Los números metálicos

El número de oro es ampliamente conocido desde la época de Euclides por sus aplicaciones al mundo del arte o la arquitectura, sin embargo pocos conocen la existencia de otros números metálicos”, como el número de plata o el de bronce. Vayamos por orden:
Número de oro
A un rectángulo le quitamos un cuadrado y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación  x/1 = 1/(x-1), cuya solución positiva, (1+5^(1/2))/2, se denomina número de oro, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.
Número de plata
A un rectángulo le quitamos dos cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-2), cuya solución positiva, 1+2^(1/2), se denomina número de plata, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.

Número de bronce

A un rectángulo le quitamos tres cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-3), cuya solución positiva, (3+13^(1/2))/2, se denomina número de bronceque es la razón entre los lados del rectángulo inicial. 

numeros metalicos

Algebraicamente, el número de oro es la raíz positiva de la ecuación x2-x-1=0. Generalizando, podemos plantear la ecuación x2-mx-1=0, donde m es un número natural. Las raíces positivas de estas ecuaciones son los números metálicos:

    • Si m=1, obtenemos el número de oro.
    • Si m=2, obtenemos 1+√2, el número de plata.
    • Si m=3, obtenemos (3+√13)/2, el número de bronce.
    • En general, se obtiene la expresión (m+√m2+4)/2 genera todos los números metálicos.

La relación de los números metálicos con las fracciones continuas es muy interesante. El número de oro expresado como fracción continua se escribe de la siguiente forma:

numero de oro fraccion continua

El número de plata:

plata

Y, en general, cualquier número metálico tiene la forma:

metalicos

Los números metálicos están íntimamente relacionados con la Sucesión de Fibonacci. Recordemos que la sucesión de Fibonacci es la construida según el siguiente criterio:

F(n+2) = F(n) + F(n +1)

Pues bien, el límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos F(n) / F(n – 1) es, precisamente, el número de oro.

Generalizando el anterior resultado se denomina Sucesión de Fibonacci Generalizada a la formada según la recurrencia  F(n+2) = p * F(n) + q * F(n +1) , cuyos límites entre las razones de dos términos consecutivos tienden a los correspondientes “números metálicos”.

Valor aproximado de los Números Metálicos 

Nombre p q Valor
Oro 1 1 1,618033989…
Plata 2 1 2,414213562…
Bronce 3 1 3,302775638…
Cobre 1 2 2.000000000…
Níquel 1 3 2,302775638…
Platino 2 2 2,732050808…

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Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x2 + y2 = r2, la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

m^2+n^2\leq r^2.

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

GausssCircleProblem_650

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr2 y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/rse acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

GausssCirclePi_1000

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(ren la fórmula

N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

Gauss logró ya demostrar que 

E(r)\leq 2\sqrt{2}\pi r.

y escribiendo |E(r)| ≤ Crt, los actuales límites en t son

\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

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El origen del sudoku

LoShuEl concepto de Sudoku está ligado al de los primeros cuadrados mágicos, muy utilizados en civilizaciones antiguas como la china, egipcia o árabe. Dice la leyenda que el primer cuadrado mágico nació en el siglo XXIII a. C. y fue encontrado por el emperador chino de la época en el caparazón de una tortuga que pasaba por el río Amarillo. La idea del cuadrado mágico fue transmitida a los árabes por los chinos, probablemente a través de la India, en el siglo VIII.

Posteriormente trabajó en cuadrados de números el gran Leonhard Euler (1707-1783), famoso matemático suizo. Este no habría creado el juego en sí, sino que daría las pautas para el cálculo de probabilidades en cuadrados latinos.

Algunas fuentes indican que el origen del juego como tal puede situarse en Nueva York (EEUU) a finales de los años 1970. Allí fue publicado con el nombre de Number Place en la revista Math Puzzles and Logic Problems de la empresa especializada en rompecabezas Dell. Posteriormente Nikoli, empresa japonesa especializada en pasatiempos para prensa, lo exportó a Japón publicándolo en el periódico Monthly Nikolist en abril de 1984 bajo el título “Sūji wa dokushin ni kagiru“, que se puede traducir como “los números deben estar solos” (literalmente “célibe, soltero”). El nombre se abrevió a Sūdoku (sū = número, doku = solo). En 1986, Nikoli introdujo dos innovaciones que garantizarían la popularidad del rompecabezas: el número de cifras que venían dadas estaría restringida a un máximo de 30 y los puzzles serían “simétricos” (es decir, las celdas con cifras dadas estarían dispuestas de forma simétrica).

Tras pequeñas variaciones hasta dar con la fórmula que hoy es tan popular, el Sudoku se extendió por la prensa japonesa y comenzó su salto al resto del mundo. En 1997, Wayne Gould, juez de la Corte de Hong Kong, durante unas vacaciones en el país nipón, encontró una revista de Sudokus y decidió llevarlo a Europa. Una oferta de publicación le llegó en The Times, que publicó el primer pasatiempo el 12 de noviembre de 2004. Tres días después, The Daily Mail copió el juego y tras él la práctica totalidad de la prensa británica.

sudoku

 

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Números de Dudeney

Dudeney

Henry Ernest Dudeney

Henry Ernest Dudeney (1857-1930), nació en Mayfield, al sur de Inglaterra. Fue el más genial creador inglés de problemas de ingenio y matemáticas, aunque lo más sorprendente es que jamás realizó estudios formales de matemáticas. Dice Martin Gardner: “En lo que respecta a problemas matemáticos, la cantidad y calidad que Dudeney produjo supera a lo aportado por cualquier otro creador, anterior o posterior, dentro y fuera de Inglaterra”.

Dudeney aprendió a jugar al ajedrez a temprana edad, y continuó jugando con frecuencia a lo largo de su vida. Esto condujo
a un marcado interés por las matemáticas y la composición de los rompecabezas. A los 9 años ya estaba componiendo problemas para un periódico local.

Dudeney ha pasado a la posteridad por dar nombre a una serie de números. Un número de Dudeney es un entero que es un cubo perfecto, de forma que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número.

Por ejemplo:
   1 =  1 x  1 x  1   ;   1 = 1
  512 =  8 x  8 x  8   ;   8 = 5 + 1 + 2
 4913 = 17 x 17 x 17   ;  17 = 4 + 9 + 1 + 3
 5832 = 18 x 18 x 18   ;  18 = 5 + 8 + 3 + 2
17576 = 26 x 26 x 26   ;  26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19683 = 27 x 27 x 27   ;  27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3
Y aquí acaba la lista, porque no hay ningún número más de Dudeney. Se puede demostrar que 19683 es el más grande de dichos números.

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Sloane, la enciclopedia de las sucesiones

sloane

Neil J. A. Sloane

En 1963, el matemático estadounidense Neil J. A. Sloane, cuando era estudiante de doctorado en la Universidad de Cornell, necesitó estudiar la sucesión 1, 8, 78, 944, 13800, … No encontró información sobre ella en ningún libro de la biblioteca y pensó que podía ser interesante recopilar datos de todas las sucesiones conocidas. Comenzó entonces este monumental proyecto de reunir todas las sucesiones conocidas.

Al principio, labase de datos se almacenaba en tarjetas perforadas, pero finalmente se decidió a publicarlo en formato libro, el cual fue reeditado varios años después:

  1. A Handbook of Integer Sequences (1973), con 2.400 secuencias.
  2. The Encyclopedia of Integer Sequences (1995), con 5.487 secuencias.
oeis

Logo de OEIS

Estos libros fueron bien recibidos, y, sobre todo después de la segunda publicación, los matemáticos empezaron a enviar a Sloane nuevas secuencias de forma continua. Entonces, la colección se hizo intratable para estar en forma de libro, y cuando alcanzó las 16.000 secuencias, Sloane decidió pasarlas a Internet en 1996 (http://oeis.org/). Había nacido la Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros (OEIS por sus siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). En 2004, Sloane celebró el registro de la secuencia número 100.000 (A100000).  En octubre de 2010, ya lleva 179.911 secuencias, y continua aproximándose hacia las 200.000 gracias a la colaboración de varias personas de diversos campos de estudios. Actualmente la base de datos sigue creciendo, a un ritmo de aproximadamente 10.000 entradas por año, y de su gestión se encarga la OEIS Foundation Inc.

La información que contiene OEIS es de interés para matemáticos profesionales, pero también sirve como entretenimiento para cualquiera que desee practicar la matemática recreativa. Entre ellas están famosas suesiones como la lista de números primos (A000040) o la sucesión de Fibonacci (A000045). Cada entrada contiene los primeros términos de la secuencia, palabras clave que la describen, motivación matemática, fórmulas, enlaces a obras relacionadas y más. Las secuencias se pueden buscar por cualquiera de estos campos, por subsecuencias u otras formas.

Para celebrar el lanzamiento de la OEIS Foundation Inc. en 2009 , Tony Noe hizo una película de 8,5 minutos que muestra los gráficos de los primeros 1000 términos de 1000 secuencias, con la banda sonora de la secuencia de Recaman (A005132).

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El ángulo áureo

Si una planta crece en espiral, ¿cuál es el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas alrededor del tallo? La selección natural ha decidido premiar con mayor descendencia a aquellas plantas que han sacado mayor partido de la luz del sol y, por lo tanto, han crecido más altas y más sanas. De esta manera encontraremos más especies que han resuelto este problema de forma óptima.

Analicemos el asunto: si la planta crece en forma de espiral y el ángulo es de 90º, la quinta hoja que surgiese del tallo solaparía la primera, dándole sombra. Tampoco nos valdría 60º pues ocurriría lo mismo a la cuarta hoja. Ya estamos viendo que influye el hecho de ser un divisor de 360º y, en general, el producto de un número racional (una fracción) por 360º. Así que a la planta le interesa que los brotes nuevos surjan con ángulos irracionales, ¡y qué mejor irracional que el número áureo!

Un ángulo áureo es el ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia en proporción áurea y resulta ser de unos 137,5º.

ángulo áureo

Si un ángulo es irracional, por muchas vueltas que dé alrededor de la circunferencia, nunca regresará a la posición inicial.

Esto explica por qué muchas flores tienen un número de pétalos que coincide con la serie de Fibonacci, al igual que el número de espiras de las piñas. Recordemos que la serie de Fibonacci es la que se origina sumando los dos términos anteriores, o sea 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Ya hubo una entrada especial en este blog para la serie de Fibonacci. También debemos recordar que el cociente de dos números consecutivos de la serie de Fibonacci tiende al número de oro.  Por lo tanto, si en una planta brotan 8 hojas cada 3 vueltas, cada una de ellas surge cada 3/8 de vuelta, o sea, cada 135º, que se acerca bastante al ángulo áureo. Y si brotan 13 hojas cada 5 vueltas, entonces cada hoja emergerá cada 138,5 º.

Ejemplos de este hecho se pueden encontrar muchos. Por ejemplo la flor del girasol,

girasol

las piñas,

piña

o las margaritas, que normalmente tienen 13 pétalos.

margaritas

Así que si deshojas una margarita, ya sabes: ¡¡¡debes siempre empezar con el “me quiere”!!!

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