La fabulosa historia de los Pelayo

Ganar en un casino es una tarea imposible, porque el hecho de que exista el número 0 proporciona un margen al casino del 1/37 (~2,7%, que se convierte en un 5,4% en la ruleta americana que tiene además el 00). Tampoco existen sistemas para cambiar el tamaño o frecuencia de las apuestas (martingala o similares) con esperanza ganadora. La matemática dice que la ruleta es un juego perdedor para el jugador.

Pero imagina que encuentras un error en el funcionamiento de la ruleta y eso te permite ganar dinero a raudales. Este sería el sueño de cualquiera, ¿no? Pues este sueño se hizo realidad para Gonzalo García-Pelayo y su familia, que consiguieron en el verano del 1992  ganar unos 70 millones de pesetas (420.000 euros, toda una fortuna para la época) en el Casino Gran Madrid. Después de ser descubiertos, el casino de Madrid les prohibió la entrada, pero entonces decidieron traspasar las fronteras y viajar a otros casinos del mundo: Las Vegas, Australia, Austria, Dinamarca, Holanda. En total la familia García-Pelayo ganó más de 250 millones de pesetas (un millón y medio de euros) en tres años.

Seguro que estás interesado en conocer el método utilizado por los Pelayo para aumentar tus ingresos… Gonzalo García-Pelayo tomó como base que no existe la ruleta perfectamente aleatoria, puesto que toda máquina puede tener imperfecciones físicas (abombamientos, tamaño de los casilleros de los números, flexibilidad de las placas separadoras, etc) y que éstas, por milimétricas que sean, generan alguna tendencia que hace que algunos números salgan por encima de su probabilidad. Luego de recolectar los resultados de varios miles de lanzamientos e introducir sus datos en una aplicación informática desarrollada para tal efecto, comprobó que una ruleta específica tendía a favorecer a ciertos números en particular, a los cuales se debía apostar.

En el año 1991 Gonzalo García-Pelayo organizó a los miembros de su familia para tomar datos de las mesas de ruleta en el Casino Gran Madrid. Tras examinar al menos 5.000 lanzamientos sobre una ruleta real se analizaron los números que habían salido más de lo normal. Salir “más de lo normal” significaba que ese número aparecía “más de 1/36 de las veces”, que sería lo habitual para obtener un premio. Entonces hay que jugarlo porque es un número ganador. La ruleta puede considerarse, en palabras de García-Pelayos, “una caja de ahorros” más que un juego de azar.

Esta historia ha sido objeto de un libro La fabulosa historia de Los Pelayos (2003) así como de un documental, Breaking Vegas: The roulette assault, emitido en The History Channel. El realizador de cine, Eduard Cortés, estrenó en 2012 una película de ficción, The Pelayos, basada en los hechos vividos por la familia.

Desde los años 90 Gonzalo García-Pelayo y gran parte de su familia vienen trabajando en el campo de la probabilidad en los juegos de azar, estudiando y desarrollando métodos para ganar en el ámbito del juego, como las quinielas y más recientemente, el póquer online. García-Pelayo introdujo y apoderó al campeón del mundo de póquer Juan Carlos Mortensen. Recientemente se ha centrado en la creación de una peña abierta de jugadores para aumentar la probabilidad de ganar en juegos de azar mediante el trabajo en equipo.

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Ruleta

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¿Qué número saldrá en la lotería de Navidad 2012?

Buena cuestión. Si lo supiera no estaría aquí escribiendo este artículo. Hace años, para tener una pista sobre el número que saldría en la lotería de Navidad, la gente consultaba a algún visionario, a la güija o al péndulo. Hoy en día mucha gente consulta con el Oráculo-Internet por este motivo. En este sentido voy a aportar mi granito de arena dejando en evidencia falsos mitos e ideas equivocadas al respecto.

  • La probabilidad de ganar en la lotería jugando siempre el mismo número es mayor. Muchas personas tienen cariño por una terminación o por un número completo, y piensan que tarde o temprano tendrá que salir ya que a lo largo de los años la distribución de los números es uniforme. FALSO.  Por justificarlo de una forma sencilla, cada vez que se realiza un sorteo el “contador de probabilidades” vuelve a cero, puesto que los anteriores resultados ya no son desconocidos, y por tanto no cuentan. O más que a cero, la probabilidad vuelve a 1/100.000, que es la probabilidad de que salga un número, haya salido ya o aunque no haya salido nunca.

 

  • La probabilidad de resultados futuros puede cambiar según los resultados pasados. En el tema que nos concierne, que es la lotería de Navidad: si llevan 20 años sin salir un número terminado en 3, por ejemplo, pues será más probable que este año salga en 3. FALSO. Otra cosa es calcular la probabilidad de que en los próximos 20 años no salga un 3, y en el siguiente año salga 3, que es de 0,012. La cuestión, de nuevo, se basa en si los datos son ya conocidos o no: lo que ha pasado en los últimos 20 años ya es conocido y, por lo tanto, “el “contador de probabilidades” vuelve a cero.

 

  • Una variante del punto anterior es la siguiente: «Llevo x años sin ganar nada, así que este año me tendrá que tocar». FALSO. No tiene sentido considerar las cosas a la larga, pero “para atrás”. Debe considerarse a la larga desde la posición actual hacia adelante, y no puede esperarse que el dinero perdido se equilibre. En realidad, no hay tampoco un equilibrio entre la recaudación y el reparto de premios puesto que el estado se queda con un 30 %.

 

  • Hay administraciones de loterías con más suerte que otras. El caso de “La Bruixa D’Or” de la localidad de Sort es muy elocuente: casi siempre reparte premios, pero ¿es porque tiene más suerte? FALSO. Es simplemente porque vende más números y, por lo tanto, es más probable que esos números sean agraciados. Imagínate que nos ponemos en el extremo: de vender tantos premios, llega un momento en que el resto de administraciones sucumben y esta administración se convierte en la única que vende loterías. ¿Seguirás pensando que tiene más suerte?

 

  • Hay provincias con más suerte que otras. FALSO. Observando las estadísticas, resulta que el Gordo ha caido en Madrid 76 veces y en Barcelona, 47 veces. ¡Qué casualidad, las ciudades más grandes de España! ¿Crees que es suerte o está relacionado con los números que se venden?

 

  • Hay números “feos”. FALSO. Todos están en el bombo y tienen la misma probabilidad de salir.

Vamos a ser realistas: todos tenemos un 5,68% de probabilidad de “ganar algo” en el sorteo del 22 de diciembre , que es el resultado de dividir 1.787 premios entre 85.000 bolas en el bombo. La probabilidad de que te toque el gordo es de 0,001 %. Es una probabilidad muy baja y mejor nos saldría gastarnos el dinero en un viaje, en una cena o en un regalo. El que sí gana es el estado, que se lleva un 30 % de los 3.600 millones de euros que se recaudan (datos del 2011). Pero al final todos picamos, por eso de si a todos los compañeros de trabajo les toca y a tí no…

¿Será este mi número?

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Probabilidad empírica

El cálculo de probabilidades surgió bastante tarde, ya en el siglo XVII, y las motivaciones que lo impulsaron no fueron otras que la búsqueda de las mejores estrategias para ganar en los juegos de azar. Hasta tal punto es tardío su desarrollo que la famosa ley de Laplace como el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles no llegó hasta 1814.

Aunque hoy en día a nadie le cabe la menor duda de que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es del 50 %, algunos investigadores escépticos se han dedicado a lanzar monedas o dados para comprobarlo. Uno de ellos fue el matemático sudafricano John Kerrich, que fue encarcelado en la Segunda Guerra Mundial, y estando en prisión encontró su entretenimiento lanzando 10.000 veces una moneda al aire. El resultado: 5.067 caras y 4.933 cruces. El conde de Buffon, naturalista francés del siglo XVIII, también dedicó su tiempo a lanzar monedas. De 4.040 lanzamientos obtuvo 2.048 caras y 1.952 cruces. Pero la palma se la lleva Karl Pearson, uno de los padres de la estadística actual, que lanzó una moneda 24.000 veces y obtuvo, como era de esperar, unas 12.000 caras, concretamente 12.012, lo cual da una proporción de 0,5005.

Los dados también han sido objeto de lanzamientos reiterados por parte de investigadores de la probabilidad. El astrónomo suizo Rudolf Wolf se dedicó a lanzar 20.000 veces dos dados (uno rojo y otro blanco) obteniendo resultados que se alejaban bastante de los resultados teóricos. Por ejemplo, el 4 blanco y el 4 rojo salió 413 veces, mientras que el 6 blanco y 1 rojo salió 690 veces, lo cual no es imposible, pero sí poco probable, por lo que es de suponer que dichos dados estaban trucados.

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Teorema de los infinitos monos

El Teorema de los Infinitos Monos afirma que un grupo de infinitos simios tecleando al azar un teclado durante un tiempo infinito podrá escribir cualquier libro, ya sea una novela de William Shakespeare (versión inglesa del teorema), un libro de la Biblioteca Nacional Francesa (versión francesa) o “El Quijote” (versión española). En realidad, para los objetivos del teorema sólo haría falta un mono, eso sí, que fuese inmortal y estuviese aporreando el teclado indefinidamente.

Equipo de monos escribiendo las obras completas de Shakespeare

El teorema no es una trivialidad. Su enunciado formal sería: “Dada una cadena infinita donde cada carácter es elegido de manera aleatoria, cualquier cadena finita ocurre casi seguramente (probabilidad 1) como subcadena de la primera en alguna posición”. Dicho resultado se basa en la Ley cero-uno de Kolmogorov, llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogorov, que dice que la probabilidad de un evento de cola (tail event en inglés) es cero o uno. Como la probabilidad de que un mono teclee “El Quijote” no es cero, entonces debe ser uno.

Para investigar sobre la cuestión pongámonos en un caso considerablemente más sencillo: vamos a pedir a nuestro mono que intente teclear al azar la palabra “banana”. Suponiendo que el teclado tenga 50 teclas, la probabilidad de que la primera letra escrita sea b es 1/50, de que la segunda sea a es 1/50, etc. Dichos sucesos son independientes, así que la probabilidad de que las seis primeras letras escritas sean “banana” es 1/506. Por lo tanto, la probabilidad de no escribir “banana” en cada bloque de 6 letras es 1-1/506. Si consideramos cada bloque independientemente, la probabilidad X de no escribir “banana” en los n primeros bloques de 6 letras es X=(1-1/506)n. A medida que n aumenta, X se reduce. Para n=1.000.000, X=99.99%, pero para un n igual a 10 000 millones, X=53% y para una n=100 000 millones es un 0,17%. A medida que n se acerca a infinito, la probabilidad de X (que no escriba “banana”) tiende a cero, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que sí la escriba tiene a 1. Este mismo argumento extrapolado a un texto mucho mayor, con 2.034.611 caracteres, como El Quijote, nos llevaría al mismo resultado.

Dicho teorema se ha llevado a la práctica. El sitio web The Monkey Shakespeare Simulator fue puesto en marcha el 1 de julio de 2003, simulando 100 monos virtuales tecleando. Antes de que fuera desechado, el sitio llegó a 10^35 el número de páginas tecleadas. ¿Qué se consiguió? No mucho. Se acertaron dos palabras, “now faire”, que pertenecen a “El sueño de una noche de verano”, tres palabras y una coma, “Let fame, that”, de “Trabajos de amor perdidos”. El récord fue la serie “Poet. Good day Sir”, encontrados en la obra “Timón de Atenas”.

Como anécdota también se han realizado pruebas reales con macacos. En 2003, científicos de Paignton Zoo y la Universidad de Plymouth anunciaron que dejaron un teclado de computadora en la jaula de seis macacos durante un mes. Los resultados fueron del todo desoladores: además de producir cinco páginas consistentes en una larga serie de la letra S, se produjo finalmente un ataque del teclado con una piedra, orinando y defecando posteriormente sobre él. A un mono no se le puede pedir más.

Martingala

En lenguaje coloquial, martingala se emplea como sinónimo de truco, treta o argucia. “Para cortar el vidrio con tijeras el cristalero empleó la martingala de hacerlo cortando debajo del agua...”. La martingala (del francés, martingale) es un método para apostar en juegos de azar que nació en Francia en el siglo XVIII. La más simple de sus versiones fue diseñada para un juego en el que el apostante gana la apuesta en caso de que al lanzar una moneda caiga de cara y pierde en caso de que salga cruz. En el juego de la ruleta, la martingala consiste en apostar una cantidad, un euro por ejemplo, a un color, por ejemplo al rojo. Si se pierde, se duplica la última apuesta: dos euros al rojo. En caso de volver a perder, se vuelve a duplicar la última apuesta: cuatro euros al rojo… En el momento en el que se gane una vez, se logra un beneficio de un euro (la apuesta inicial). Como “en algún momento” saldrá el rojo, a priori parece una estrategia ganadora, ¿no?

Pues no… a menos de que uno disponga de un presupuesto infinito!!! Además, en algunos casinos, existe un tope máximo de apuesta, por lo que, en ese momento no se podría continuar con la estrategia.  

Está muy extendida la idea de que es posible ganar de forma segura con este método y algunos spammers y webs de casinos online la usan como cebo. La martingala falla por las siguientes razones:

– Uno no cuenta con presupuesto infinito.

– Existe un tope de apuesta que llegado a él, habría que detener el método y asumir las pérdidas. No se puede duplicar la apuesta aunque se disponga de dinero.

– Una secuencia desfavorable puede acabar muy rápido con el “colchón” de dinero del jugador.

– La ruleta es un juego de esperanza negativa, o en otras palabras, desfavorable para el jugador. La culpa la tiene la casilla verde (el número cero), que no es blanca ni negra y es la de la banca.

El concepto de la martingala en la teoría de probabilidades fue introducido por Paul Pierre Lévy(1886 – 1971), y una gran parte del desarrollo original de la teoría lo realizó Joseph Leo Doob. Parte de la motivación para ese esfuerzo era demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles.

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La paradoja del cumpleaños

¿Cuál pensáis que es la probabilidad de que al menos 2 personas de un grupo de 23 cumplan los años el mismo día del año? Si nos apresuramos en responder a la pregunta, la intuición nos indicará que es muy improbable que dos fechas coincidan. Sin embargo, de forma sorprendente la probabilidad de que 2 personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día del año es de más del 50%. Es más, el mismo planteamiento para un grupo de 60 personas da un resultado mayor del 99% de probabilidad. Pero… ¿cómo puede ser? Vamos a calcularla.

Vamos a calcular la probabilidad del suceso contrario, esto es, de que no compartan cumpleaños.

  • Supongamos que hay dos personas en el grupo. La probabilidad de que tengan un cumpleaños distinto son 364/365 = 0,9973, o sea del 99,73%.
  • Entra un tercero. La probabilidad de que los tres tengan cumpleaños diferentes es 364/365 * 363/365 = 0,9918, o sea de un 99,18%.
  •  Parece que la probabilidad no desciende demasiado a medida que entran personas en el grupo, pero si seguimos calculando la probabilidad de que 23 personas tengan distintos cumpleaños dará 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * … * 343/365, que es igual a 0,493. Esto significa que hay un 49,3% de probabilidad de que los 23 tengan cumpleaños diferentes y, a la inversa, un 50,7% de posibilidades de que al menos dos compartan cumpleaños.

Esta es la gráfica que relaciona el número de personas y la probabilidad de que compartan cumpleaños:

Como se puede ver la probabilidad aumenta hasta alcanzar un 90% con 41 personas y prácticamente un 100 % para grupos de más de 60 personas.

La paradoja del cumpleaños en sentido estricto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica, es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Y ya sabemos que, como en el problema de la cabra de Monty Hall, a veces la intuición nos engaña…

El problema de la semana va de relojes: Un reloj atrasa ¼ de minuto durante el día, pero, debido al cambio de temperatura, adelanta 1/3 de minuto durante la noche. ¿Al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy, al atardecer, marca la hora exacta?

El problema de Monty Hall

A veces la intuición nos juega malas pasadas. Este es el caso del famoso problema de Monty Hall, cuyo nombre proviene de un concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), cuyo presentador del concurso se llamaba precisamente así: Monty Hall.

El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y le comunique al presentador su elección, éste, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abrirá una de las otras dos y mostrará que detrás hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Piensa tu respuesta antes de ver la cuestión en este vídeo:

En resumen, que aumenta la probabilidad si cambia de opción. Y esto es lógico: la probabilidad si se queda con la primera opción es 1/3, porque cuando la escogió no sabía que había detrás, pero si cambia es de 1/2 porque en una de las casillas ya sabemos que hay una cabra, y la incertidumbre se reduce. 

El problema de Monty Hall es un ejemplo de que la intuición a veces falla a la hora de resolver problemas. Ocurre lo mismo con el famoso “Problema de los cuatro hijos” de Martin Gardner, que os dejo para que lo resolváis: Supongamos que un matrimonio tiene cuatro hijos. ¿Cual es la probabilidad de que tengan dos niñas y dos niños? La intuición te lleva a pensar que es del 50%, ¿no? ¡Pues estás equivocado!

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