Dados, ¡y qué dados!

Un dado es un objeto de forma poliédrica que se usa para mostrar un resultado aleatorio. Los dados se consideran derivados de la taba (nombre vulgar del astrágalo de los mamíferos) y desde la antigüedad se utilizan para la práctica de diferentes juegos. El vocablo parece que proviene del árabe clásico a‘dād, que significa número. En Roma al dado se lo llamaban álea, de ahí la frase de Julio César al cruzar el Rubicón: Alea jacta est, que significa “el dado está tirado”, otra forma de decir “La suerte está echada”. De álea proviene aleatorio, ‘al azar’.

Puesto que los cinco sólidos platónicos han sido objeto de veneración desde la antigüedad, dichas formas se han utilizado para fabricar dados por su perfecta regularidad. Es evidente que el dado de seis caras es el más utilizado en toda clase de juegos, seguramente por la facilidad de su fabricación, pues se trata de un simple cubo. Sin embargo, con el advenimiento de los juegos de rol en los años 70,  la utilidad de realizar tiradas de dados de menos o más de seis caras se hizo patente. He aquí un kit básico de dados para juegos de rol:

dados rol

Hasta aquí todo bien. Ahora entramos en el terreno del frikismo para ver como la imaginación humana no tiene límites a la hora de crear dados.

Dados con constantes matemáticas:

Dados matemáticos

Dados con operaciones:

math

Dados con conjuntos:

math_sets

Dados con potencias de 10:

magnitude

Dado con las permutaciones de las letras a, b, c:

permutaciones

Dados binarios:

binary

Dado con emoticonos:

emoticon

Y por último… ¡el dado de cien caras!, que en realidad no tiene cien caras, ni es un poliedro, sino que es una esfera. Bautizado en inglés en 1985 como Zocchihedron (o «zocchiedro» en castellano) por su inventor, el estadounidense Lou Zocchi, no ha conseguido venderse con éxito porque su rodadura tarda demasiado tiempo en detenerse y porque muchas veces la lectura del resultado de su tirada es confusa o ambigua. No es de extrañar, ¿no?

Zocchihedron2

 

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x2 + y2 = r2, la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

m^2+n^2\leq r^2.

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

GausssCircleProblem_650

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr2 y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/rse acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

GausssCirclePi_1000

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(ren la fórmula

N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

Gauss logró ya demostrar que 

E(r)\leq 2\sqrt{2}\pi r.

y escribiendo |E(r)| ≤ Crt, los actuales límites en t son

\frac{1}{2}< t\leq\frac{131}{208}=0.6298\ldots,

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

Teorema de la bola peluda

Si n\  es un entero par al menos igual a 2\ , todo campo vectorial continuo X\  sobre la esfera real S_n\  se anula en un punto al menos; es decir que existe v\  (que depende de X\ ) tal que: X(v)=0\ .

En Matemáticas, y más precisamente en Topología Diferencial, el Teorema de la Bola Peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Por lo tanto, el teorema afirma que la función que asocia un vector a cada punto de la esfera se anula en al menos un punto (en la figura son dos los puntos, situados en los polos). Este resultado fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.

250px-Hairy_ball

En meteorología se considera una modelización del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con componentes vectoriales bidimensionales, esto es, considerando nulo su movimiento a lo largo del eje vertical. Bajo estas condiciones, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento. En un sentido físico, esta zona de no-viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón.

ciclon

Una de las consecuencias del Teorema de la Bola Peluda es el Teorema del punto fijo de Brouwer, que asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo a valores en K, admite un punto fijo, esto es, donde f(x)=x. El origen del teorema provendría de la observación de una taza de café por Brouwer. Cuando revolvemos el azúcar, parece siempre haber un punto inmóvil; de ahí deduce que: «En todo momento, hay un punto de la superficie que no habrá cambiado de lugar». El punto fijo no es necesariamente aquél que parece inmóvil pues el centro del remolino se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, pues el punto fijo inicial podrá haber cambiado, pero otro punto fijo aparecerá.

cafe2

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

El teorema de Banach-Tarski

“Es posible dividir una esfera en cinco partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos, obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original”.

Banach-Tarski_Paradox

En otras palabras, con una esfera es posible fabricar un puzzle de cinco piezas que, combinadas de una determinada manera, formen dos esferas del mismo radio. Pues uno lee este enunciado y se queda de piedra. De uno sacamos dos. Parece un engaño porque choca con toda lógica y atendiendo al principio de conservación de la materia parece contradictorio que de una esfera de volumen 1 (pongamos) se consigan dos esferas de volumen 1 cada una. ¿Dónde está el truco?

Este enunciado y su demostración fue presentado en 1.924 por los matemáticos Alfred Tarski y Stephan Banach. Se basa en las propiedades de los giros del espacio y el famoso (y controvertido) axioma de elección de Zermelo. La clave de la demostración está en que los trozos en que dividimos la esfera no son medibles, y no medible no quiere decir que midan cero, sino que no se le puede asignar ningún valor a la medida.

Para hacernos una idea, esta es una prueba que es similar a la dada por Banach y Tarski.

Cayley_backward

Un grupo de estudiantes de matemáticas de la Universidad de Copenhague realizaron un divertido vídeo con motivo de dicha paradoja. Ellos partieron de una naranja y llegaron a… Sólo tenéis que verlo.

Las matemáticas pueden salvarte la vida

George Gamow fue  un físico, astrónomo y escritor de divulgación científica estadounidense nacido en Odesa , Ucrania. En su autobiografía “Mi línea del mundo” (1970) aparece la siguiente anécdota sobre cómo las matemáticas fueron clave para salvar la vida de un amigo suyo.

He aquí una historia de uno de mis amigos que en 1919 era un joven profesor de física en Odesa. Su nombre era Igor Tamm (Premio Nobel de Física1958). En algún momento de 1919, después de llegar a un pueblo cercano, mientras Odesa fue ocupada por los rojos, Tamm estaba negociando con un aldeano cuántos pollos podía conseguir por una docena de cucharas de plata. Fue capturado entonces por una de las bandas de Makhno que estaban vagando por el país, hostigando a los rojos. Al ver sus ropas de ciudad, sus captores lo llevaron al Ataman, un barbudo con un gorro de piel negro y alto, con el pecho cruzado por cintas de cartuchos de ametralladora y un par de granadas de mano colgando de su cinturón.
“Usted es un agitador comunista que está minando nuestra madre Ucrania! El castigo es la muerte! ”
“No, no”, respondió Tamm. “Yo no soy más que un profesor de la Universidad de Odesa , y he venido aquí a comprar algo de comida.”
“Basura”, dijo el Ataman . “¿Qué tipo de profesor es usted?”
“Enseño matemáticas”, respondió mansamente Tamm.
“¿Matemáticas?”, se burló el Ataman. “Entonces usted debe ser capaz de dar una estimación del error que se comete al truncar una serie de McLaurin en el n-ésimo término. Si usted no puede contestar, le dispararé.”
Tamm se quedó sin aliento al oír esta pregunta de matemáticas superiores salir de la boca del líder guerrero. Con mano temblorosa, y bajo el cañón del arma de fuego, Tamm fue capaz de presentar una respuesta al Ataman.
“Correcto”, bramó el Ataman. “Dejadlo en libertad.”

Este relato está especialmente indicado a cualquier profesor que ha enseñado matemáticas y ha tenido que responder a esa pregunta tan recurrente en las aulas: “¿Para qué sirve esto?”. Una buena respuesta podría ser que podría salvar tu vida.

gamow

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

La fórmula de Herón

Herón ( siglo I d. C.) fue un ingeniero y matemático helenístico que destacó en Alejandría (en la provincia romana de Egipto). Aunque es matemáticas es conocido por su fórmula para calcular el área del triángulo, Herón fue uno de los científicos e inventores más grandes de la antigüedad. Entre sus logros cuenta la invención de la primera máquina de vapor (la eolípila) o el primer libro de robótica de la historia (“Los autómatas”).

En geometría, la fórmula de Herón calcula el área de un triángulo en relación con las longitudes de sus lados ab y c:

\acute{A}rea = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

donde s es el semiperímetro del triángulo:

s = \frac{a+b+c}{2}

Se puede encontrar una demostración de la fórmula en su libro Métrica, escrito en el 60 dC. Se ha propuesto que Arquímedes ya sabía la fórmula dos siglos antes, puesto que Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo.

Expresando la fórmula de Herón en forma de determinante  se obtiene este bello y simétrico resultado:

heron

Si saltamos a las tres dimensiones, así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia (ya hablamos de él en la entrada “El tartamudo de Brescia“) fue el primero que halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Esta es su expresión:

heron2

Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

Teorema de la pizza

Imaginemos que dos personas van a comer una pizza. Para cortarla en ocho trozos, lo normal es que dichos cortes pasen por el centro y estén igualmente repartidos, lo que significa que están formando un ángulo de 45º entre cada dos de ellos. Pero ha habido un problema y es que han cortado la pizza formando un ángulo de 45º entre cada dos cortes consecutivos, pero sin que los cortes pasen por el centro. El esquema (exagerado un poquito) es el siguiente:

pizza

El problema ahora es si es posible repartir la pizza, sin realizar más cortes, de forma que cada una de las dos personas coma lo mismo.

Observando la imagen no da la impresión de que sea posible repartir los trozos de manera equitativa, puesto que cada trozo tiene una superficie diferente; sin embargo, el conocido como Teorema de la pizza nos dice que sí es posible y además establece cómo hacerlo.

Teorema de la pizza: Si una pizza es dividida en ocho trozos, obtenidos mediante cuatro cortes que pasan por un punto común y forman un ángulo de 45º entre ellos, entonces la suma de las áreas de los trozos alternos son iguales.

Esta cuestión fue originalmente propuesta por el matemático L. J. Upton en 1967 y resuelta por Michael Goldberg. Posteriormente, Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen. En el esquema siguiente se muestra:

pizza2

Se puede generalizar el resultado y preguntarse por diferente número de cortes. La generalización del Teorema de la pizza se conoce como el Teorema de la pizza de queso y fue dada por fue dada por R. Mabry y P. Deiermann en 2009.

Teorema de la pizza de queso: Si O es el centro de la pizza, esta se divide en n cortes a la “manera usual”, generando 2n trozos de pizza que se dividirán en dos familias de n trozos, grises y blancos, alternando uno de cada familia. Entonces,

i) si n > 2 es par o el centro O está en uno de los cortes, la superficie total de las zonas grises y de las zonas blancas es la misma,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡3 (mod.4), es decir, n es de la forma 4r+3, entonces la superficie de las zonas grises es mayor que la de las blancas,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡1 (mod.4), es decir, n es de la forma 4s+1, entonces la superficie de las zonas grises es menor que la de las blancas.

Y para finalizar una pequeña broma. Si P es una pizza de radio z y grosor a, entonces su volumen viene dado por la fórmula…

pizza

¿Cómo? Sólo tienes que aplicar la fórmula del volumen del cilindro

V = π r h

sustituyendo r por z y h por a.

Ahora sí, ¿no? Pues a sonreir.

SI TE HA GUSTADO, COMPÁRTELO:

Add to FacebookAdd to DiggAdd to Del.icio.usAdd to StumbleuponAdd to RedditAdd to BlinklistAdd to TwitterAdd to TechnoratiAdd to Yahoo BuzzAdd to Newsvine

Anteriores Entradas antiguas Siguiente Entradas recientes