Números felices

Los números, al igual que las personas, pueden ser felices o infelices. Sin embargo, la felicidad de un número es mucho más sencilla. ¿Cómo distinguir si un número es feliz? Muy fácil: se suman los cuadrados de sus dígitos y se repite el proceso cuantas veces sea necesario; si en algún momento obtenemos un 1, hemos terminado y el número original es feliz. En caso de entrar en un ciclo, el número original es infeliz.

Por ejemplo, 82 es un número feliz ya que:

8^2+2^2=68

6^2+8^2=100

1^2+0^2+0^2=1

En cambio, 89 es un número infeliz:

8^2+9^2=145

1^2+4^2+5^2=42

4^2+2^2=20

2^2+0^2=4

4^2=16

1^2+6^2=37

3^2+7^2=58

5^2+8^2=89

y entramos en bucle al volver a obtener 89.

Los primeros números felices hasta el 100 son el 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 y 100. Aunque parecen abundantes, en realidad los números felices son cada vez más infrecuentes a medida que aumenta el número de cifras. Así hay un 22,22% de una cifra, 18,89% de dos cifras, 13,67% de tres cifras, etc. Pese a ser cada vez más escasos a medida que aumentamos el número de dígitos siempre se podrá encontrar un número feliz, lo cual es reconfortante: todos los números de la forma 10^k lo son.

Existen series de números consecutivos de números felices tan largas como se quiera. El primer par de números felices consecutivos son el 31 y el 32. El primer trío es el 1880, 1881 y 1882. Y cada vez hay que irse más lejos para encontrar cadenas de números felices consecutivos. Por ejemplo para encontrar una cadena de 9 números felices consecutivos debemos recurrir a números de 215 cifras.

 

 

El códice C

Después de la publicación del Código Da Vinci cualquier libro que lleve como título código o códice, parece que está impregnado de cierto halo de misterio. El best-seller combina el suspense detectivesco y el esoterismo, todo ello aderezado con una teoría de conspiración para darle más jugo al libro. En Matemáticas también hay historias que bien merecerían un libro de aventuras y suspense. Concretamente, la historia del códice C es apasionante.

Debemos remontarnos a la Siracusa del siglo III a.C. Allí nació Arquímedes y escribió la mayor parte de sus obras. La envergadura  de las obras de Arquímedes superaba la de los Elementos de Euclides y eran mucho más sofisticadas, sólo aptas para entendidos. Por lo tanto es razonable que no hubiera apenas copias de sus obras, posiblemente depositadas en la gran Biblioteca de Alejandría o en la biblioteca hija de Serapeum. Todas su obras desaparecieron y muchos de los resultados obtenidos por Arquímedes no fueron conseguidos por los sabios sino hasta 500 años después, dando pie a la cuestión de en qué estado de avance estaría la civilización actual si esos conocimientos hubieran estado al alcance de los eruditos.

Sin embargo entre los siglos IX y X se compusieron en Constantinopla tres manuscritos que recopilaban los resultados de Arquímedes encontrados hasta ese momento: los códices A, B y C. El códice A desapareció a mediados del siglo XVI, pero se hicieron varias copias que aún se conservan hoy en día en bibliotecas de Italia y Francia. El códice B desapareció antes y desde comienzos del siglo XIV no se supo más de él. El códice C es el único del que sabemos hoy en día su paradero, aunque el que menos influencia ha tenido para la ciencia puesto que ha permanecido oculto hasta que fue descubierto en 1906.

Palimpsesto de Arquímedes

En algún momento del siglo XII alguien decidió que la obra de Arquímedes no era demasiado importante y reutilizó este pergamino para escribir cosas más interesantes como un texto litúrgico. El manuscrito fue desatado, rascado, lavado y finalmente encuadernado junto con folios de otros cuatro libros. El devoto copista convirtió en palimpsesto el texto de Arquímedes y escribió sus oraciones cristianas sobre los más profundos teoremas que había producido el mundo griego. De esta forma quedó oculto durante siete siglos.

El académico alemán Constantine Tischendorf visitó Constantinopla (actual Estambul) en la década de los años 1840 y dio noticias de un escrito matemático griego visible en el palimpsesto. Pero sería el filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) quien se daría cuenta, cuando inspeccionó el palimpsesto en 1906, que se trataba nada más y nada menos que de Arquímedes, conteniendo obras que se creían perdidas.

Heiberg tomó fotografías de la obra, a partir de las cuales obtuvo transcripciones que publicó entre 1910 y 1915. Sin embargo, su trabajo quedó interrumpido por el inicio de la Primera Guerra Mundial. El texto quedó en posesión de la biblioteca de Constantinopla y pronto desapareció. ¡Parece que el sino de los códices arquimedianos es de desaparecer! Estuvo en paradero desconocido durante casi todo el siglo XX hasta que volvió a la luz el 28 de actubre de 1998 en una subasta en Christie´s en Nueva York. Fue adquirido por más de dos millones de dólares por un coleccionista americano anónimo.

El palimpsesto de Arquímedes fue sometido entre los años 1999 y 2008 a un intenso estudio en el Museo Walters, en Baltimore, así como a un proceso de restauración (el pergamino había sufrido deterioros por efecto del moho). El 29 de octubre de 2008, coincidiendo con el décimo aniversario de la adquisición del palimpsesto por subasta, toda la información derivada del documento, incluyendo imágenes y transcripciones, fueron alojadas en internet para su uso bajo una licencia Creative Commons, y las imágenes procesadas fueron publicadas en Google Books.

La fabulosa historia de los Pelayo

Ganar en un casino es una tarea imposible, porque el hecho de que exista el número 0 proporciona un margen al casino del 1/37 (~2,7%, que se convierte en un 5,4% en la ruleta americana que tiene además el 00). Tampoco existen sistemas para cambiar el tamaño o frecuencia de las apuestas (martingala o similares) con esperanza ganadora. La matemática dice que la ruleta es un juego perdedor para el jugador.

Pero imagina que encuentras un error en el funcionamiento de la ruleta y eso te permite ganar dinero a raudales. Este sería el sueño de cualquiera, ¿no? Pues este sueño se hizo realidad para Gonzalo García-Pelayo y su familia, que consiguieron en el verano del 1992  ganar unos 70 millones de pesetas (420.000 euros, toda una fortuna para la época) en el Casino Gran Madrid. Después de ser descubiertos, el casino de Madrid les prohibió la entrada, pero entonces decidieron traspasar las fronteras y viajar a otros casinos del mundo: Las Vegas, Australia, Austria, Dinamarca, Holanda. En total la familia García-Pelayo ganó más de 250 millones de pesetas (un millón y medio de euros) en tres años.

Seguro que estás interesado en conocer el método utilizado por los Pelayo para aumentar tus ingresos… Gonzalo García-Pelayo tomó como base que no existe la ruleta perfectamente aleatoria, puesto que toda máquina puede tener imperfecciones físicas (abombamientos, tamaño de los casilleros de los números, flexibilidad de las placas separadoras, etc) y que éstas, por milimétricas que sean, generan alguna tendencia que hace que algunos números salgan por encima de su probabilidad. Luego de recolectar los resultados de varios miles de lanzamientos e introducir sus datos en una aplicación informática desarrollada para tal efecto, comprobó que una ruleta específica tendía a favorecer a ciertos números en particular, a los cuales se debía apostar.

En el año 1991 Gonzalo García-Pelayo organizó a los miembros de su familia para tomar datos de las mesas de ruleta en el Casino Gran Madrid. Tras examinar al menos 5.000 lanzamientos sobre una ruleta real se analizaron los números que habían salido más de lo normal. Salir “más de lo normal” significaba que ese número aparecía “más de 1/36 de las veces”, que sería lo habitual para obtener un premio. Entonces hay que jugarlo porque es un número ganador. La ruleta puede considerarse, en palabras de García-Pelayos, “una caja de ahorros” más que un juego de azar.

Esta historia ha sido objeto de un libro La fabulosa historia de Los Pelayos (2003) así como de un documental, Breaking Vegas: The roulette assault, emitido en The History Channel. El realizador de cine, Eduard Cortés, estrenó en 2012 una película de ficción, The Pelayos, basada en los hechos vividos por la familia.

Desde los años 90 Gonzalo García-Pelayo y gran parte de su familia vienen trabajando en el campo de la probabilidad en los juegos de azar, estudiando y desarrollando métodos para ganar en el ámbito del juego, como las quinielas y más recientemente, el póquer online. García-Pelayo introdujo y apoderó al campeón del mundo de póquer Juan Carlos Mortensen. Recientemente se ha centrado en la creación de una peña abierta de jugadores para aumentar la probabilidad de ganar en juegos de azar mediante el trabajo en equipo.

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El problema de Kakeya

A veces el espacio que tenemos para darle media vuelta a un coche es mínimo. Ahora bien, ¿cuál es el menor espacio necesario para hacer el giro? Y si abstraemos el problema y reducimos el coche a un segmento unitario, ¿cuál es el conjunto «más pequeño» del plano en el que se puede realizar ese giro? También podemos extrapolar el problema a tres dimensiones.

Conocido como el problema de Kakeya o de Besicovitch (en honor a los matemáticos japonés y ruso que lo estudiaron), las respuestas a estas cuestiones son un objeto del deseo del Análisis Matemático contemporáneo. Se denomina conjunto de Kakeya, o conjunto Besicovitch, a cualquier conjunto de puntos en el espacio euclídeo, que contiene un segmento unitario de línea en todas las direcciones. Mientras que muchos tipos de objetos satisfacen esta propiedad, varios resultados y preguntas interesantes son motivadas al intentar responder a la medida mínimo de dichos conjuntos.

En primer lugar, podemos pensar que el área necesaria para girar la aguja es un círculo con el centro en el punto medio de la aguja. Esta es la primera solución que nos viene a la cabeza.  Luego, podemos pensar en un triángulo de Reuleux. Una aguja que se mueva en su interior también gira ahí completamente y la superficie es más pequeña. Una profundización mayor nos llevaría a la superficie conocida como “deltoide” que también permite el giro de la aguja y cuya superficie (en relación con la aguja) parece pequeñísima. Es la representada en la siguiente figura:

Durante mucho tiempo se pensó que esta deltoide era la solución del problema de Kakeya, pero en 1919, el matemático ruso Abram Besicovitch demostró que en realidad el área necesaria se podía hacer arbitrariamente pequeña. Ideó una solución muy sutil a base de desplazamientos longitudinales de la aguja y una sucesión casi interminable de giros de la misma. Besicovitch demostró que la solución podría tener medida nula.

 

 

Nuevas creaciones de Aakash Nihalani

Ya hablamos de Aakash Nihalani en una entrada anterior, ese artista de Nueva York que ha convertido la calle en un gran taller de geometría. En aquella ocasión utilizaba cintas adhesivas de colores para crear por la ciudad sorprendentes formas y figuras geométricas que dan una sensación de tridimensionalidad.  Ahora sus nuevas creaciones se refieren a operaciones que aparecen de forma implícita en la calle: cubos de basura que se multiplican, ventanas que se suman, se restan… Mejor verlo.

 

 

 

 

El cubo de Necker

El Cubo de Necker es una ilusión óptica publicada por primera vez en 1832 por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker. Se trata de un cubo en perspectiva axonométrica, esto es, que los límites paralelos del cubo están dibujados como líneas paralelas en la imagen. Cuando se cruzan dos líneas, la imagen no muestra cuál está en frente y cuál detrás. Esto hace que el dibujo sea ambiguo, ya que puede ser interpretado de dos maneras diferentes.

Cuando se observa la imagen, suele suceder que se intercambia la visión entre las dos interpretaciones válidas. A esto se le denomina percepción multiestable.

Los psicólogos del siglo pasado lo usaban para demostrar que nuestros pensamientos o nuestro modo de pensar pueden afectar nuestras percepciones. Fíjate si puede hacer que la imagen cambie a voluntad (como en otras imágenes que le siguen). Haz aparecer al cubo en una perspectiva y luego en la otra. Que salte para acá y para allá. Cuando hayas conseguido todo eso, considera que -en realidad- lo que estás viendo es una figura de dos dimensiones, pero que para tu imaginación es un cubo visto desde la derecha o desde la izquierda.

El Cubo de Necker ha sido ampliamente utilizado como motivo artístico. Estas son algunas muestras de ello.

 

 

Los números metálicos

El número de oro es ampliamente conocido desde la época de Euclides por sus aplicaciones al mundo del arte o la arquitectura, sin embargo pocos conocen la existencia de otros números metálicos», como el número de plata o el de bronce. Vayamos por orden:

Número de oro

A un rectángulo le quitamos un cuadrado y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación  x/1 = 1/(x-1), cuya solución positiva, (1+5^(1/2))/2, se denomina número de oro, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.

Número de plata

A un rectángulo le quitamos dos cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-2), cuya solución positiva, 1+2^(1/2), se denomina número de plata, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial.

Número de bronce

A un rectángulo le quitamos tres cuadrados y obtenemos otro semejante a él. Se plantea la ecuación x/1 = 1/(x-3), cuya solución positiva, (3+13^(1/2))/2, se denomina número de bronce, que es la razón entre los lados del rectángulo inicial. 

Algebraicamente, el número de oro es la raíz positiva de la ecuación x²-x-1=0. Generalizando, podemos plantear la ecuación x²-mx-1=0, donde m es un número natural. Las raíces positivas de estas ecuaciones son los números metálicos:

• Si m=1, obtenemos el número de oro.
• Si m=2, obtenemos 1+√2, el número de plata.
• Si m=3, obtenemos (3+√13)/2, el número de bronce.
• En general, se obtiene la expresión (m+√m²+4)/2 genera todos los números metálicos.

La relación de los números metálicos con las fracciones continuas es muy interesante. El número de oro expresado como fracción continua se escribe de la siguiente forma:

El número de plata:

Y, en general, cualquier número metálico tiene la forma:

Los números metálicos están íntimamente relacionados con la Sucesión de Fibonacci. Recordemos que la sucesión de Fibonacci es la construida según el siguiente criterio:

F(n+2) = F(n) + F(n +1)

Pues bien, el límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos F(n) / F(n – 1) es, precisamente, el número de oro.

Generalizando el anterior resultado se denomina Sucesión de Fibonacci Generalizada a la formada según la recurrencia  F(n+2) = p * F(n) + q * F(n +1) , cuyos límites entre las razones de dos términos consecutivos tienden a los correspondientes «números metálicos».

Valor aproximado de los Números Metálicos 

Nombre	p	q	Valor
Oro	1	1	1,618033989…
Plata	2	1	2,414213562…
Bronce	3	1	3,302775638…
Cobre	1	2	2.000000000…
Níquel	1	3	2,302775638…
Platino	2	2	2,732050808…

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Dados, ¡y qué dados!

Un dado es un objeto de forma poliédrica que se usa para mostrar un resultado aleatorio. Los dados se consideran derivados de la taba (nombre vulgar del astrágalo de los mamíferos) y desde la antigüedad se utilizan para la práctica de diferentes juegos. El vocablo parece que proviene del árabe clásico a‘dād, que significa número. En Roma al dado se lo llamaban álea, de ahí la frase de Julio César al cruzar el Rubicón: Alea jacta est, que significa «el dado está tirado», otra forma de decir «La suerte está echada». De álea proviene aleatorio, ‘al azar’.

Puesto que los cinco sólidos platónicos han sido objeto de veneración desde la antigüedad, dichas formas se han utilizado para fabricar dados por su perfecta regularidad. Es evidente que el dado de seis caras es el más utilizado en toda clase de juegos, seguramente por la facilidad de su fabricación, pues se trata de un simple cubo. Sin embargo, con el advenimiento de los juegos de rol en los años 70,  la utilidad de realizar tiradas de dados de menos o más de seis caras se hizo patente. He aquí un kit básico de dados para juegos de rol:

Hasta aquí todo bien. Ahora entramos en el terreno del frikismo para ver como la imaginación humana no tiene límites a la hora de crear dados.

Dados con constantes matemáticas:

Dados con operaciones:

Dados con conjuntos:

Dados con potencias de 10:

Dado con las permutaciones de las letras a, b, c:

Dados binarios:

Dado con emoticonos:

Y por último… ¡el dado de cien caras!, que en realidad no tiene cien caras, ni es un poliedro, sino que es una esfera. Bautizado en inglés en 1985 como Zocchihedron (o «zocchiedro» en castellano) por su inventor, el estadounidense Lou Zocchi, no ha conseguido venderse con éxito porque su rodadura tarda demasiado tiempo en detenerse y porque muchas veces la lectura del resultado de su tirada es confusa o ambigua. No es de extrañar, ¿no?

 

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Problema del círculo de Gauss

El problema del círculo de Gauss consiste en  determinar en el plano cuántos puntos de cooordenadas enteras hay dentro de un círculo centrado en el origen y con radio r. Puesto que la ecuación de este círculo es  x² + y² = r², la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

El primer progreso realizado para obtener la solución fue hecho por Carl Friedrich Gauss, y de ahí su nombre.

Si la respuesta para cada r se denota por N(r), podemos ver en las figuras anteriores las soluciones para r=1, 2 y 3, que son N(1)=5, N(2)=13, N(3)=29. La  lista continúa de la siguiente manera:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

En el siguiente enlace podemos encontrar un contador de puntos para cualquier valor de r.

Es evidente que el número N(r) debe tener mucha relación con el área del círculo πr² y en el applet anterior podemos ver que el cociente N(r)/r² se acerca a π cuando r toma valores grandes. En el siguiente gráfico se ve de forma más evidente esta tendencia:

Así que, el problema histórico ha sido encontrar el límite superior e inferior para E(r) en la fórmula

Gauss logró ya demostrar que 

y escribiendo |E(r)| ≤ Cr^t, los actuales límites en t son

con el límite inferior de Hardy y Landau de forma independiente en 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.

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Teorema de la bola peluda

Si  es un entero par al menos igual a , todo campo vectorial continuo  sobre la esfera real  se anula en un punto al menos; es decir que existe  (que depende de ) tal que: .

En Matemáticas, y más precisamente en Topología Diferencial, el Teorema de la Bola Peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Por lo tanto, el teorema afirma que la función que asocia un vector a cada punto de la esfera se anula en al menos un punto (en la figura son dos los puntos, situados en los polos). Este resultado fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912 y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.

En meteorología se considera una modelización del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con componentes vectoriales bidimensionales, esto es, considerando nulo su movimiento a lo largo del eje vertical. Bajo estas condiciones, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento. En un sentido físico, esta zona de no-viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón.

Una de las consecuencias del Teorema de la Bola Peluda es el Teorema del punto fijo de Brouwer, que asegura que toda aplicación continua de un conjunto convexo y compacto K de un espacio euclídeo a valores en K, admite un punto fijo, esto es, donde f(x)=x. El origen del teorema provendría de la observación de una taza de café por Brouwer. Cuando revolvemos el azúcar, parece siempre haber un punto inmóvil; de ahí deduce que: «En todo momento, hay un punto de la superficie que no habrá cambiado de lugar». El punto fijo no es necesariamente aquél que parece inmóvil pues el centro del remolino se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, pues el punto fijo inicial podrá haber cambiado, pero otro punto fijo aparecerá.

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